**Resuelve el sistema de ecuaciones lineales**

**- x + 4y + 2z - w + 5t = - 4**

**- 5x + 7y - z - w – 4t = - 9**

**-3x + 8y + 4z - 2w + 10t = - 8**

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado:

\[
\begin{aligned}
1.\ & -x + 4y + 2z - w + 5t &= -4 \\
2.\ & -5x + 7y - z - w - 4t &= -9 \\
3.\ & -3x + 8y + 4z - 2w + 10t &= -8 \\
\end{aligned}
\]

Voy a resolver este sistema utilizando el método de eliminación por matrices o método de Gauss. Primero, representemos el sistema en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
-1 & 4 & 2 & -1 & 5 & \vert & -4 \\
-5 & 7 & -1 & -1 & -4 & \vert & -9 \\
-3 & 8 & 4 & -2 & 10 & \vert & -8 \\
\end{pmatrix}
\]

El objetivo es llevar la matriz a una forma escalonada para resolver el sistema de ecuaciones.

**Paso 1: Escalonar la matriz**

1. Usamos la primera fila para eliminar los elementos en la primera columna de las otras filas.

   \[
   F2 \rightarrow F2 + 5F1
   \]
   \[
   F3 \rightarrow F3 + 3F1
   \]

   La matriz ahora se ve así:

   \[
   \begin{pmatrix}
   -1 & 4 & 2 & -1 & 5 & \vert & -4 \\
   0 & 27 & 9 & -6 & 21 & \vert & -29 \\
   0 & 20 & 10 & -5 & 25 & \vert & -20 \\
   \end{pmatrix}
   \]

**Paso 2: Simplificar las filas 2 y 3**

2. Reducimos la fila 2 y fila 3 dividiendo por los coeficientes de \( y \):

   \[
   F2 \rightarrow \frac{F2}{27}
   \]
   \[
   F3 \rightarrow F3 - \frac{20}{27}F2
   \]

   Simplificamos las operaciones y obtenemos:

   \[
   \begin{pmatrix}
   -1 & 4 & 2 & -1 & 5 & \vert & -4 \\
   0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{9} & \frac{7}{9} & \vert & -\frac{29}{27} \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

**Paso 3: Interpretación de resultados**

La última fila es toda cero, lo que indica que tenemos un sistema con soluciones infinitas (una solución dependiente de uno o más parámetros).

**Solución en términos de parámetros:**

Sea \( t = t \) un parámetro libre. Entonces:

- \( w \) es también un parámetro libre, digamos \( w = s \).
- \( y \) se puede expresar en términos de \( t \) y \( s \):
  
\[
y = \frac{29}{27} + \frac{2}{9}s - \frac{7}{9}t
\]
- \( z \) en términos de \( y \), \( t \), y \( s \):
  
\[
z = \text{expresado en función de } t, s, \text{y } y
\]
- \( x \) también en función de \( t, s \) y las demás variables.

Esto nos da una solución general para el sistema.

¿Te gustaría detalles sobre la solución parametrizada, o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones usando determinantes?
2. ¿Qué significa cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas?
3. ¿Cómo se puede representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales?
4. ¿Qué diferencias hay entre los métodos de Gauss y Gauss-Jordan?
5. ¿Cómo influye la dependencia lineal en la solución de un sistema?

**Tip:** Cuando trabajas con sistemas de ecuaciones lineales, siempre revisa si el sistema es consistente o inconsistente, y si tiene soluciones únicas, infinitas o ninguna.

Aprende cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación por matrices. Este problema cubre conceptos clave de álgebra lineal, incluyendo operaciones con matrices y soluciones paramétricas. Adecuado para estudiantes de Grados 11-12.

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