https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17267291870816h5zewny.jpg

Soal tersebut meminta untuk menentukan persamaan garis dengan gradien \(-2\) yang menyinggung lingkaran pada poin b:

\[
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45
\]

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

### 1. Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran tersebut adalah:

\[
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45
\]

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di \((-2, 3)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).

### 2. Persamaan Garis dengan Gradien \(-2\)
Persamaan umum garis dengan gradien \(m = -2\) adalah:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Dimana \((x_1, y_1)\) adalah titik pada garis. Karena gradiennya sudah diketahui \(-2\), persamaan garis menjadi:

\[
y - y_1 = -2(x - x_1)
\]

Atau, dalam bentuk eksplisit:

\[
y = -2x + C
\]

Disini, \(C\) adalah konstanta yang akan kita tentukan agar garis tersebut menyinggung lingkaran.

### 3. Kondisi Garis Menyinggung Lingkaran
Untuk garis menyinggung lingkaran, jarak dari pusat lingkaran \((-2, 3)\) ke garis harus sama dengan jari-jari lingkaran. Jarak dari sebuah titik ke garis dapat dihitung dengan rumus:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Dimana \(Ax + By + C = 0\) adalah bentuk umum dari persamaan garis, dan \((x_1, y_1)\) adalah titik pusat lingkaran. Dalam kasus ini, persamaan garis adalah \(2x + y - C = 0\), sehingga \(A = 2\), \(B = 1\), dan \(C\) adalah konstanta yang belum diketahui. Pusat lingkaran adalah \((-2, 3)\), dan jari-jarinya \(3\sqrt{5}\).

Sekarang, kita substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus jarak:

\[
d = \frac{|2(-2) + 1(3) - C|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 3\sqrt{5}
\]

Hitung nilai dalam tanda mutlak:

\[
\frac{|-4 + 3 - C|}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}
\]

\[
\frac{| -1 - C |}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}
\]

Kalikan kedua sisi dengan \(\sqrt{5}\) untuk menghilangkan penyebut:

\[
|-1 - C| = 15
\]

Ini memberi dua kemungkinan:

\[
-1 - C = 15 \quad \text{atau} \quad -1 - C = -15
\]

### 4. Menyelesaikan Persamaan
#### Kasus 1: 
\[
-1 - C = 15
\]
\[
C = -16
\]

Jadi, persamaan garis adalah:

\[
y = -2x - 16
\]

#### Kasus 2: 
\[
-1 - C = -15
\]
\[
C = 14
\]

Jadi, persamaan garis lain adalah:

\[
y = -2x + 14
\]

### 5. Kesimpulan
Ada dua persamaan garis yang menyinggung lingkaran dengan gradien \(-2\):

\[
y = -2x - 16 \quad \text{dan} \quad y = -2x + 14
\]

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana cara menghitung jarak titik ke garis dengan lebih detail?
2. Apa perbedaan antara persamaan lingkaran standar dan yang sudah bergeser seperti di soal?
3. Bagaimana jika gradien garis berubah menjadi positif?
4. Bagaimana cara menentukan titik singgung antara lingkaran dan garis tersebut?
5. Bagaimana jika lingkaran dan garis tidak menyinggung tetapi berpotongan di dua titik?

**Tip:** Pastikan untuk selalu memeriksa kembali pusat dan jari-jari lingkaran sebelum mulai menentukan persamaan garis.

Tentukan persamaan garis yang bergradien -2 yang menyinggung lingkaran berikut: (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45.

Pelajari cara menentukan persamaan garis dengan gradien -2 yang menyinggung lingkaran (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45. Materi ini mencakup konsep geometri analitik, jarak antara titik dan garis, serta persamaan lingkaran.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation