Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3) ^ 2 + (y - 4) ^ 2 = 5 yang melalui titik diluar lingkaran Z(0,0)!

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5\) yang melalui titik di luar lingkaran \(Z(0,0)\), kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

### 1. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
- Persamaan lingkaran \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5\) memiliki pusat \(P(3, 4)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{5}\).

### 2. Menentukan gradien garis dari titik \(Z(0, 0)\) ke pusat lingkaran \(P(3, 4)\):
- Gradien garis \(m\) yang menghubungkan titik \(Z(0, 0)\) dan pusat lingkaran \(P(3, 4)\) adalah:
  \[
  m = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}
  \]

### 3. Menentukan gradien garis singgung:
- Gradien garis singgung \(m_t\) adalah negatif kebalikan dari gradien garis yang melalui pusat lingkaran, yaitu:
  \[
  m_t = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}
  \]

### 4. Menentukan persamaan garis singgung:
- Persamaan garis dengan gradien \(m_t\) yang melalui titik \(Z(0, 0)\) adalah:
  \[
  y = m_t x + c
  \]
  Substitusi \(m_t = -\frac{3}{4}\) dan \(Z(0, 0)\) ke persamaan di atas:
  \[
  y = -\frac{3}{4}x + c
  \]
  Karena garis melalui titik \(Z(0, 0)\), maka \(c = 0\). Jadi persamaan garisnya adalah:
  \[
  y = -\frac{3}{4}x
  \]

Namun, karena ini adalah garis singgung, kita harus menemukan nilai konstanta \(c\) yang tepat dengan menggunakan syarat jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran.

### 5. Menentukan konstanta \(c\) menggunakan syarat jarak:
- Jarak dari pusat \(P(3, 4)\) ke garis \(y = -\frac{3}{4}x + c\) adalah:
  \[
  \text{Jarak} = \frac{|-\frac{3}{4}(3) + 4 - c|}{\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 1^2}}
  \]
  \[
  = \frac{|-\frac{9}{4} + 4 - c|}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} = \frac{|- \frac{9}{4} + \frac{16}{4} - c|}{\sqrt{\frac{25}{16}}}
  \]
  \[
  = \frac{|7/4 - c|}{5/4} = \frac{|7 - 4c|}{5}
  \]

  Syarat jarak ini harus sama dengan jari-jari lingkaran \(r = \sqrt{5}\), sehingga:
  \[
  \frac{|7 - 4c|}{5} = \sqrt{5}
  \]

  Setelah menyelesaikan persamaan ini, Anda akan mendapatkan dua nilai \(c\) yang berbeda, yang menghasilkan dua garis singgung.

- Dari persamaan tersebut kita selesaikan:
  \[
  |7 - 4c| = 5\sqrt{5}
  \]
  \[
  7 - 4c = 5\sqrt{5} \quad \text{atau} \quad 7 - 4c = -5\sqrt{5}
  \]
  \[
  4c = 7 - 5\sqrt{5} \quad \text{atau} \quad 4c = 7 + 5\sqrt{5}
  \]
  \[
  c = \frac{7 - 5\sqrt{5}}{4} \quad \text{atau} \quad c = \frac{7 + 5\sqrt{5}}{4}
  \]

### 6. Persamaan garis singgung:
- Garis singgung pertama: \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{7 - 5\sqrt{5}}{4}\)
- Garis singgung kedua: \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{7 + 5\sqrt{5}}{4}\)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan? Berikut 5 pertanyaan yang bisa Anda eksplorasi lebih lanjut:
1. Bagaimana cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lain?
2. Mengapa gradien garis singgung adalah negatif kebalikan dari gradien garis melalui pusat?
3. Bagaimana cara menentukan jarak antara titik dan garis di koordinat Kartesius?
4. Apa perbedaan antara garis singgung dan garis potong lingkaran?
5. Bagaimana cara menggunakan konsep gradien dan jarak dalam soal geometri lainnya?

**Tip:** Jika Anda ingin memverifikasi apakah sebuah garis adalah garis singgung, periksa apakah hanya ada satu titik perpotongan antara garis dan lingkaran tersebut.

Pelajari cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5 yang melalui titik di luar lingkaran Z(0,0). Solusi ini mencakup konsep geometri lingkaran, perhitungan gradien garis, dan penggunaan rumus jarak antara titik dan garis. Cocok untuk siswa SMA.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation