dapatkan persamaan garis yang menyinggung lingkaran di titik P pada lingkaran x²+y²-6x+4y=13 dengan P(4,3)

Untuk menentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran di titik \( P(4, 3) \) pada lingkaran yang diberikan oleh persamaan:

\[
x^2 + y^2 - 6x + 4y = 13,
\]

kita perlu menemukan gradien (kemiringan) garis singgung tersebut.

### Langkah 1: Temukan Persamaan Lingkaran
Pertama, kita ubah persamaan lingkaran tersebut menjadi bentuk standar \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \).

\[
x^2 - 6x + y^2 + 4y = 13
\]

Selesaikan menjadi bentuk lengkap kuadrat:

1. Lengkapi kuadrat untuk \(x\):
   - \((x^2 - 6x) = (x - 3)^2 - 9\)

2. Lengkapi kuadrat untuk \(y\):
   - \((y^2 + 4y) = (y + 2)^2 - 4\)

Substitusikan hasilnya ke dalam persamaan:

\[
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 13
\]

\[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 26
\]

Jadi, pusat lingkaran adalah \( C(3, -2) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{26} \).

### Langkah 2: Tentukan Gradien Garis Radius dan Gradien Garis Singgung
Gradien garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran \( C(3, -2) \) dengan titik singgung \( P(4, 3) \):

\[
m_{CP} = \frac{3 - (-2)}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5.
\]

Karena gradien garis singgung adalah negatif kebalikan dari gradien radius, maka gradien garis singgung \( m_t \) adalah:

\[
m_t = -\frac{1}{5}.
\]

### Langkah 3: Persamaan Garis Singgung
Gunakan titik \( P(4, 3) \) dan gradien \( m_t = -\frac{1}{5} \) untuk menulis persamaan garis dalam bentuk \( y - y_1 = m(x - x_1) \):

\[
y - 3 = -\frac{1}{5}(x - 4).
\]

Sederhanakan persamaan ini:

\[
y - 3 = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5},
\]

\[
5y - 15 = -x + 4,
\]

\[
x + 5y - 19 = 0.
\]

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran di titik \( P(4, 3) \) adalah:

\[
\boxed{x + 5y - 19 = 0.}
\]

Apakah ada yang ingin ditanyakan, atau penjelasan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menemukan persamaan lingkaran dari bentuk umum?
2. Bagaimana langkah melengkapi kuadrat pada persamaan lingkaran?
3. Apa pentingnya gradien dalam menentukan garis singgung?
4. Mengapa gradien garis singgung berlawanan dengan gradien radius?
5. Bagaimana cara mengubah persamaan garis dari bentuk titik-slope ke bentuk standar?

**Tip:** Dalam menentukan gradien garis singgung, selalu ingat bahwa gradien singgung adalah negatif kebalikan dari gradien radius.

Pelajari cara menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat C(3, -2) di titik P(4, 3). Persamaan ini melibatkan konsep geometri lingkaran, gradien, dan garis singgung. Cocok untuk siswa SMA (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation