あるスーパーマーケットに入荷した、トラック1台分のトマトの中から20個を無作為に選び、その重さを測定したところ、平均値が120.3g、標本標準偏差が8.6gであった。入荷したトマト1個当たりの平均的な重さ μ を、信頼係数95％、99％で区間推定しなさい。



①本標本の標本平均は以下のどちらの分布に近似しても良いか？1または2の半角数字で解答しなさい。

　1：正規分布、2：t分布

 


②信頼係数が95％である場合、標本平均を標準化したあとの上限値の数値を半角数字で解答しなさい。（小数点第3位まで答えること）

まず、問題を整理します。

1. トマトの重さの標本平均 \(\bar{x} = 120.3 \text{g}\)
2. 標本標準偏差 \(s = 8.6 \text{g}\)
3. 標本サイズ \(n = 20\)

### ① 本標本の標本平均はどちらの分布に近似しても良いか？
標本サイズが20と比較的小さいため、通常は t分布を使用します。これは特に母分散が未知の場合に適しています。従って、答えは：

\[ 2 \]

### ② 信頼係数が95％である場合、標本平均を標準化したあとの上限値の数値を求める。

95%信頼区間を求めるためには、t分布の臨界値を使用します。

まず、自由度は \( df = n - 1 = 20 - 1 = 19 \)です。

95%信頼区間の場合、両側の信頼区間の上限値を求めるためには、\( t \)分布の臨界値 \( t_{0.975, 19} \) を使用します。

\( t \)分布の臨界値は統計表から確認すると、\( t_{0.975, 19} ≈ 2.093 \)です。

次に、信頼区間の幅を計算します。

\[ \text{信頼区間の幅} = t_{0.975, 19} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

計算すると：

\[ 2.093 \times \frac{8.6}{\sqrt{20}} ≈ 2.093 \times 1.923 ≈ 4.026 \]

これを元に95%信頼区間は：

\[ 120.3 - 4.026 \leq \mu \leq 120.3 + 4.026 \]
\[ 116.274 \leq \mu \leq 124.326 \]

標本平均を標準化したあとの上限値は：

\[ 2.093 \]

回答は：

\[ 2.093 \]

### 要約
① t分布：2
② 上限値の数値：2.093

質問があれば教えてください。また、以下の質問も試してみてください。

1. 標本平均の計算方法は？
2. 標本標準偏差とは？
3. t分布と正規分布の違いは？
4. 信頼区間の意味は？
5. 95%信頼区間の具体的な使い方は？

#### Tip: 
信頼区間は母集団のパラメータの推定において非常に重要です。データが少ない場合は、t分布を使うことでより正確な推定が可能です。

Learn how to estimate the average weight of tomatoes using interval estimation techniques. Given a sample of 20 randomly selected tomatoes with an average weight of 120.3g and a standard deviation of 8.6g, calculate the 95% confidence interval for the population mean weight per tomato.

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