あるスーパーマーケットに入荷した、トラック1台分のトマトの中から20個を無作為に選び、その重さを測定したところ、平均値が120.3g、標本標準偏差が8.6gであった。入荷したトマト1個当たりの平均的な重さ μ を、信頼係数95％、99％で区間推定しなさい。

①本標本の標本平均は以下のどちらの分布に近似しても良いか？1または2の半角数字で解答しなさい。

1：正規分布、2：t分布

②信頼係数が95％である場合、標本平均を標準化したあとの上限値の数値を半角数字で解答しなさい。（小数点第3位まで答えること）

この問題を解くためには、標本平均の分布を確認し、信頼区間の計算を行います。

### ① 標本の標本平均の分布

標本のサイズが比較的小さい（n = 20）の場合、母分散が未知である場合は、t分布を使用するのが一般的です。したがって、標本平均はt分布に従います。

解答：2

### ② 信頼係数95％である場合の信頼区間

まず、信頼区間を計算するために必要な情報を整理します。
- 標本平均 (\(\bar{x}\)) = 120.3g
- 標本標準偏差 (s) = 8.6g
- 標本サイズ (n) = 20

95％信頼区間の場合、自由度は n - 1 = 19 です。t分布表を参照して、自由度19で信頼係数95％（両側検定）のt値を求めます。この値は約2.093です。

信頼区間の計算は次の通りです：

\[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
\]

\[
120.3 \pm 2.093 \cdot \frac{8.6}{\sqrt{20}}
\]

まず、標準誤差を計算します：

\[
\frac{8.6}{\sqrt{20}} \approx 1.922
\]

次に、信頼区間の上下限を計算します：

上限値：

\[
120.3 + 2.093 \cdot 1.922 \approx 124.32
\]

下限値：

\[
120.3 - 2.093 \cdot 1.922 \approx 116.28
\]

したがって、95％信頼区間は116.28gから124.32gです。

標本平均を標準化したあとの上限値の数値（小数点第3位まで）は 124.32 です。

解答：124.320

### 要約
1. 標本平均の分布：2（t分布）
2. 信頼係数95％で標本平均を標準化したあとの上限値：124.320

### 次の質問
1. 母分散が既知である場合、どの分布を使用しますか？
2. 信頼係数99％での信頼区間を求めるにはどうすればよいですか？
3. t値を求める際の自由度はどのように計算しますか？
4. 標準誤差の定義を教えてください。
5. 信頼区間の解釈とは何ですか？

### ヒント
t分布は、標本サイズが小さく母分散が未知の場合に使用され、標本サイズが大きくなると正規分布に近づきます。

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