لحل التكامل التالي:

$\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy$

يمكننا استخدام طريقة التعويض لتبسيط التكامل.

لنقم بتعريف التعويض التالي: دع $u = y + 2$. بالتالي، $du = dy$ و $y = u - 2$.

نعوض بهذه القيم في التكامل:

$\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy = \int (u - 2)^2 u^{\frac{1}{4}} \, du$

نقوم الآن بتوسيع المقدار:

$(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4$

وبالتالي يصبح التكامل:

$\int (u^2 - 4u + 4) u^{\frac{1}{4}} \, du$

نوزع $u^{\frac{1}{4}}$:

$\int (u^2 u^{\frac{1}{4}} - 4u u^{\frac{1}{4}} + 4 u^{\frac{1}{4}}) \, du = \int (u^{2 + \frac{1}{4}} - 4u^{1 + \frac{1}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}}) \, du$

نبسط الأسس:

$\int (u^{\frac{9}{4}} - 4u^{\frac{5}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}}) \, du$

الآن نكامل كل حد على حدة:

$\int u^{\frac{9}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{9}{4} + 1}}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{u^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$

$\int -4u^{\frac{5}{4}} \, du = -4 \cdot \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{\frac{5}{4} + 1} = -4 \cdot \frac{u^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} = -4 \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} = -\frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}}$

$\int 4u^{\frac{1}{4}} \, du = 4 \cdot \frac{u^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} = 4 \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = 4 \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} = \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}}$

نقوم الآن بجمع هذه الحدود:

$\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

نرجع التعويض $u = y + 2$:

$\frac{4}{13} (y + 2)^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} (y + 2)^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} (y + 2)^{\frac{5}{4}} + C$

هذه هي نتيجة التكامل.

هل تريد تفاصيل أكثر أو لديك أي أسئلة؟

إليك 5 أسئلة ذات صلة قد تكون مهتمًا بها:

1. كيف تقوم بحل التكاملات باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء؟
2. ما هي التقنيات الشائعة لحل التكاملات المحددة؟
3. كيف تتعامل مع التكاملات التي تحتوي على الدوال المثلثية؟
4. ما هي طريقة تكامل الدوال الكسرية؟
5. كيف تستخدم تحليل الكسور الجزئية في التكامل؟

نصيحة: عند حل التكاملات، يُعد التعويض تقنية قوية لتبسيط التكامل إلى شكل أكثر قابلية للإدارة. ابحث دائمًا عن التعويضات المحتملة التي يمكن أن تجعل الدالة المتكاملة أبسط.