Soit f une fonction continue sur un segment [ab] tels que:  [a;b] inclus dans f([a; b]). ✔Montrer qu'il existe au moins c [a; b] tels que: f(c)=c.

Pour montrer qu'il existe un point \( c \in [a; b] \) tel que \( f(c) = c \), nous allons utiliser **le théorème du point fixe de Bolzano**.

### Preuve :

1. **Définition de la fonction auxiliaire :**
   Soit \( g(x) = f(x) - x \). La fonction \( g \) est continue car \( f \) est continue et \( x \mapsto x \) est également continue (la différence de fonctions continues est continue).

2. **Étudions les signes de \( g(a) \) et \( g(b) \) :**
   Nous savons que \( f([a; b]) \subseteq [a; b] \), donc :
   \[
   f(a) \in [a; b] \quad \text{et} \quad f(b) \in [a; b].
   \]
   Par conséquent :
   \[
   a \leq f(a) \leq b \quad \text{et} \quad a \leq f(b) \leq b.
   \]
   Alors :
   \[
   g(a) = f(a) - a \geq 0 \quad \text{(car } f(a) \geq a\text{)}
   \]
   et
   \[
   g(b) = f(b) - b \leq 0 \quad \text{(car } f(b) \leq b\text{)}.
   \]

3. **Application du théorème des valeurs intermédiaires :**
   La fonction \( g \) est continue sur \( [a; b] \) et nous avons \( g(a) \geq 0 \) et \( g(b) \leq 0 \). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un point \( c \in [a; b] \) tel que \( g(c) = 0 \), c'est-à-dire :
   \[
   f(c) - c = 0 \quad \text{donc} \quad f(c) = c.
   \]

Ainsi, nous avons montré qu'il existe au moins un point \( c \in [a; b] \) tel que \( f(c) = c \), ce qui prouve l'existence d'un point fixe pour la fonction \( f \) sur le segment \( [a; b] \).

### Questions relatives :

1. Qu'est-ce que le théorème du point fixe de Bolzano et dans quels contextes peut-il être appliqué ?
2. Pourquoi la continuité de \( f \) est-elle cruciale pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
3. Peut-il exister plusieurs points \( c \) tels que \( f(c) = c \) sur l'intervalle \( [a; b] \) ? Pourquoi ?
4. Comment pourrait-on adapter cette démonstration si \( f \) n'était pas continue ?
5. Existe-t-il d'autres méthodes pour prouver l'existence d'un point fixe dans ce cas ?

### Tip :
Le théorème des valeurs intermédiaires est souvent utilisé pour prouver l'existence de solutions d'équations continues dans des intervalles fermés.

Soit f une fonction continue sur un segment [a,b] tel que: [a;b] inclus dans f([a;b]). Montrer qu'il existe au moins c [a;b] tel que: f(c) = c.

Explore the demonstration of the existence of a fixed point c in the interval [a, b] where f(c) = c, using Bolzano's Fixed Point Theorem and the Intermediate Value Theorem. This detailed explanation covers continuity of functions and how to apply these core mathematical principles.

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