Obten la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3,0) B(-4,1) C(-2,1)

Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \( A(-3,0) \), \( B(-4,1) \), y \( C(-2,1) \), utilizaremos la forma general de la ecuación de una circunferencia:

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

Primero, sustituimos las coordenadas de los puntos en esta ecuación para obtener un sistema de ecuaciones.

1. Sustituimos el punto \( A(-3,0) \):
\[ (-3)^2 + 0^2 + D(-3) + E(0) + F = 0 \]
\[ 9 - 3D + F = 0 \]

2. Sustituimos el punto \( B(-4,1) \):
\[ (-4)^2 + 1^2 + D(-4) + E(1) + F = 0 \]
\[ 16 + 1 - 4D + E + F = 0 \]
\[ 17 - 4D + E + F = 0 \]

3. Sustituimos el punto \( C(-2,1) \):
\[ (-2)^2 + 1^2 + D(-2) + E(1) + F = 0 \]
\[ 4 + 1 - 2D + E + F = 0 \]
\[ 5 - 2D + E + F = 0 \]

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
\begin{cases}
9 - 3D + F = 0 \\
17 - 4D + E + F = 0 \\
5 - 2D + E + F = 0 \\
\end{cases}
\]

Resolvemos este sistema para \( D \), \( E \) y \( F \):

1. De la primera ecuación:
\[ F = 3D - 9 \]

2. Sustituimos \( F \) en las otras dos ecuaciones:
\[ 17 - 4D + E + (3D - 9) = 0 \]
\[ 17 - 4D + E + 3D - 9 = 0 \]
\[ 8 - D + E = 0 \]
\[ E = D - 8 \]

\[ 5 - 2D + E + (3D - 9) = 0 \]
\[ 5 - 2D + E + 3D - 9 = 0 \]
\[ -4 + D + E = 0 \]
\[ E = -D + 4 \]

Ahora igualamos las dos expresiones de \( E \):
\[ D - 8 = -D + 4 \]
\[ 2D = 12 \]
\[ D = 6 \]

Entonces:
\[ E = D - 8 = 6 - 8 = -2 \]

Y:
\[ F = 3D - 9 = 3(6) - 9 = 18 - 9 = 9 \]

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

\[ x^2 + y^2 + 6x - 2y + 9 = 0 \]

¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué es la forma general de una circunferencia?
3. ¿Cómo se encuentran los centros y radios de una circunferencia dada su ecuación?
4. ¿Qué son las coordenadas de un punto y cómo se utilizan en geometría analítica?
5. ¿Cómo se verifica si un punto pertenece a una circunferencia?

**Tip:** Practicar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales te ayudará a comprender mejor cómo encontrar la ecuación de una circunferencia y otros problemas similares en geometría analítica.

Learn how to find the equation of a circle passing through the points A(-3,0), B(-4,1), and C(-2,1) using coordinate geometry. Step-by-step solution includes using the general form of a circle equation and solving a system of linear equations. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation