Obten la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3,0) B(-4,1) C(-2,1)

Para obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \(A(-3,0)\), \(B(-4,1)\), y \(C(-2,1)\), utilizaremos el método del determinante. La ecuación general de la circunferencia es:

\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

Para determinar los coeficientes \(D\), \(E\), y \(F\), podemos plantear un sistema de ecuaciones utilizando los puntos dados. Primero, formamos un sistema de ecuaciones sustituyendo cada punto en la ecuación general:

1. Para el punto \(A(-3,0)\):
\[
(-3)^2 + (0)^2 + D(-3) + E(0) + F = 0 \implies 9 - 3D + F = 0
\]

2. Para el punto \(B(-4,1)\):
\[
(-4)^2 + (1)^2 + D(-4) + E(1) + F = 0 \implies 16 + 1 - 4D + E + F = 0 \implies 17 - 4D + E + F = 0
\]

3. Para el punto \(C(-2,1)\):
\[
(-2)^2 + (1)^2 + D(-2) + E(1) + F = 0 \implies 4 + 1 - 2D + E + F = 0 \implies 5 - 2D + E + F = 0
\]

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
9 - 3D + F = 0 \\
17 - 4D + E + F = 0 \\
5 - 2D + E + F = 0
\end{cases}
\]

Resolviendo este sistema:

Primero, restamos la primera ecuación de la segunda y tercera:

\[
(17 - 4D + E + F) - (9 - 3D + F) = 0 \implies 8 - D + E = 0 \implies E = D - 8
\]

\[
(5 - 2D + E + F) - (9 - 3D + F) = 0 \implies -4 + D + E = 0 \implies E = -D + 4
\]

Igualamos las dos expresiones de \(E\):
\[
D - 8 = -D + 4 \implies 2D = 12 \implies D = 6
\]

Sustituyendo \(D = 6\) en \(E = D - 8\):
\[
E = 6 - 8 \implies E = -2
\]

Sustituyendo \(D\) y \(E\) en la primera ecuación:
\[
9 - 3(6) + F = 0 \implies 9 - 18 + F = 0 \implies F = 9
\]

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
\[
x^2 + y^2 + 6x - 2y + 9 = 0
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados?
2. ¿Cómo se calcula el centro y radio de una circunferencia dada su ecuación general?
3. ¿Qué es la forma canónica de una ecuación de la circunferencia?
4. ¿Cómo se utiliza el determinante para encontrar la ecuación de una circunferencia?
5. ¿Cuál es la relación entre la ecuación de la circunferencia y su gráfica?

**Tip:** Para verificar si un punto pertenece a una circunferencia, sustituye las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia y verifica si se satisface la igualdad.

Learn how to find the equation of a circle passing through points A(-3,0), B(-4,1), and C(-2,1) using the determinant method. This problem involves coordinate geometry, circle equations, and systems of equations. Suitable for high school students (Grades 10-12).

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