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题目要求我们已知 \(\cos(\alpha + \beta) = m\) 和 \(\tan\alpha \tan\beta = 2\)，求 \(\cos(\alpha - \beta)\) 的值。

首先我们使用余弦和差公式：
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
\]

我们也知道：
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = m
\]

此外，已知 \(\tan\alpha \tan\beta = 2\)，根据正切公式：
\[
\tan\alpha \tan\beta = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta} = 2
\]

使用正弦和余弦的定义：
\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}，\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}
\]

因此：
\[
\tan\alpha \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = 2
\]

则有：
\[
\sin\alpha \sin\beta = 2 \cos\alpha \cos\beta
\]

将这个结果带入到求 \(\cos(\alpha - \beta)\) 的公式中：
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
\]
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + 2 \cos\alpha \cos\beta
\]
\[
\cos(\alpha - \beta) = 3 \cos\alpha \cos\beta
\]

现在我们知道：
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = m
\]
\[
m = \cos\alpha \cos\beta - 2 \cos\alpha \cos\beta
\]
\[
m = \cos\alpha \cos\beta (1 - 2)
\]
\[
m = -\cos\alpha \cos\beta
\]

因此：
\[
\cos\alpha \cos\beta = -m
\]

代入到 \(\cos(\alpha - \beta)\) 的结果中：
\[
\cos(\alpha - \beta) = 3 \cos\alpha \cos\beta = 3(-m) = -3m
\]

所以答案是 \(\boxed{-3m}\)。

你是否需要更多细节或有其他问题？

你可能想问的几个问题：
1. 如何从余弦和差公式推导出结果？
2. 为什么使用正切公式求解？
3. 正弦和余弦定义如何应用在此题中？
4. 如何理解 \(\tan\alpha \tan\beta = 2\) 的含义？
5. 有哪些其他方法可以解答此题？

**提示:** 记住三角函数的基本公式和转换关系，在解决问题时可以提供很大帮助。

这道题目要求求解已知 \(\cos(\alpha + \beta) = m\) 和 \(\tan\alpha \tan\beta = 2\) 的情况下，求 \(\cos(\alpha - \beta)\) 的值。通过余弦和差公式以及正切公式，详细解答了问题并给出了答案。适合高中学生学习，涉及三角函数的应用。

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