https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1718387974571ypqfwepe.jpg

قم بحل المسالة بالتفصيل

لحل المسألة الموضحة في الصورة، نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الدوال المعطاة هي دوال توزيع احتمالي (PMF) أم لا.

### شروط دالة التوزيع الاحتمالي (PMF):
1. يجب أن تكون كل قيم الدالة غير سالبة: \( P(x) \geq 0 \) لكل \( x \).
2. يجب أن يكون مجموع القيم لجميع \( x \) يساوي 1: \( \sum P(x) = 1 \).

### الدالة الأولى:
\[ P(x) = \frac{1}{36} x^3 \]
حيث \( x = 1, 2, 3 \).

نحسب القيم:
- \( P(1) = \frac{1}{36} \times 1^3 = \frac{1}{36} \)
- \( P(2) = \frac{1}{36} \times 2^3 = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \)
- \( P(3) = \frac{1}{36} \times 3^3 = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \)

نجمع القيم:
\[ P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1}{36} + \frac{2}{9} + \frac{3}{4} = \frac{1}{36} + \frac{8}{36} + \frac{27}{36} = \frac{36}{36} = 1 \]

إذًا، الدالة الأولى هي دالة توزيع احتمالي (PMF).

### الدالة الثانية:
\[ P(x) = \frac{36}{13} x^2 \]
حيث \( x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \).

نحسب القيم:
- \( P\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{36}{13} \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{36}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{36}{52} = \frac{9}{13} \)
- \( P\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{36}{13} \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{36}{13} \times \frac{1}{16} = \frac{36}{208} = \frac{9}{52} \)

نجمع القيم:
\[ P\left( \frac{1}{2} \right) + P\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{9}{13} + \frac{9}{52} = \frac{36}{52} + \frac{9}{52} = \frac{45}{52} \neq 1 \]

إذًا، الدالة الثانية ليست دالة توزيع احتمالي (PMF).

### الدالة الثالثة:
\[ P(x) = \frac{1}{56} x^2 \]
حيث \( x = 2, 4, 6 \).

نحسب القيم:
- \( P(2) = \frac{1}{56} \times 2^2 = \frac{1}{56} \times 4 = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \)
- \( P(4) = \frac{1}{56} \times 4^2 = \frac{1}{56} \times 16 = \frac{16}{56} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
- \( P(6) = \frac{1}{56} \times 6^2 = \frac{1}{56} \times 36 = \frac{36}{56} = \frac{9}{14} \)

نجمع القيم:
\[ P(2) + P(4) + P(6) = \frac{1}{14} + \frac{2}{7} + \frac{9}{14} = \frac{1}{14} + \frac{4}{14} + \frac{9}{14} = \frac{14}{14} = 1 \]

إذًا، الدالة الثالثة هي دالة توزيع احتمالي (PMF).

### الدالة الرابعة:
\[ P(x) = (0.9)^x (0.1)^{1-x} \]
حيث \( x = 0, 1 \).

نحسب القيم:
- \( P(0) = (0.9)^0 (0.1)^1 = 1 \times 0.1 = 0.1 \)
- \( P(1) = (0.9)^1 (0.1)^0 = 0.9 \times 1 = 0.9 \)

نجمع القيم:
\[ P(0) + P(1) = 0.1 + 0.9 = 1 \]

إذًا، الدالة الرابعة هي دالة توزيع احتمالي (PMF).

### النتائج:
- الدالة الأولى: دالة توزيع احتمالي (PMF).
- الدالة الثانية: ليست دالة توزيع احتمالي (PMF).
- الدالة الثالثة: دالة توزيع احتمالي (PMF).
- الدالة الرابعة: دالة توزيع احتمالي (PMF).

هل لديك أي أسئلة أخرى أو تحتاج إلى تفاصيل إضافية؟

إليك بعض الأسئلة التي يمكنك طرحها:
1. كيف يمكنني حساب التباين والانحراف المعياري لمجموعة بيانات؟
2. ما هو الفرق بين الاحتمالات التراكمية ودالة التوزيع الاحتمالي؟
3. كيف يمكنني استخدام التوزيعات الاحتمالية لحساب الاحتمالات في التجارب العشوائية؟
4. ما هي خصائص التوزيع الطبيعي وكيف يمكنني استخدامه في الإحصاء؟
5. كيف يتم استخدام التوزيعات الاحتمالية في تحليل البيانات العملية؟

**نصيحة**: عند العمل مع الدوال الاحتمالية، تأكد دائمًا من التحقق من الشروط الأساسية للتأكد من أنها دوال توزيع احتمالي صحيحة.

Explore the concept of Probability Mass Functions (PMF) through a detailed analysis of specific functions. This page covers PMF conditions, calculations, and verification. Suitable for high school students studying probability theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation