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题目要求已知 \( \cos(\alpha + \beta) = m \) 和 \( \tan\alpha \tan\beta = 2 \)，求 \( \cos(\alpha - \beta) \)。

我们可以利用三角函数的和差公式来解答此题。

首先，使用和差公式：
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]

我们已知 \( \cos(\alpha + \beta) = m \)，即：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = m \]

并且，已知 \( \tan\alpha \tan\beta = 2 \)，即：
\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = 2 \]
\[ \sin\alpha \sin\beta = 2 \cos\alpha \cos\beta \]

将上式代入到 \( \cos(\alpha + \beta) \) 的表达式中，可以得到：
\[ \cos\alpha \cos\beta - 2 \cos\alpha \cos\beta = m \]
\[ \cos\alpha \cos\beta (1 - 2) = m \]
\[ -\cos\alpha \cos\beta = m \]
\[ \cos\alpha \cos\beta = -m \]

接下来求 \( \cos(\alpha - \beta) \)：
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]
\[ = \cos\alpha \cos\beta + 2 \cos\alpha \cos\beta \]
\[ = \cos\alpha \cos\beta (1 + 2) \]
\[ = -m \cdot 3 \]
\[ = -3m \]

所以，正确答案是 A：\(-3m\)。

请告诉我是否需要更多详细信息或有其他问题。此外，这里有五个可以问我的问题：

1. 如何解一元二次方程？
2. 复数的基本运算有哪些？
3. 什么是导数的几何意义？
4. 如何进行矩阵的加法和乘法？
5. 怎样使用行列式求解线性方程组？

小提示：在解题时，明确题目中的已知条件和要求，有助于找出正确的解题思路。

Explore how to find the cosine of alpha minus beta using trigonometric identities and sum and difference formulas. This problem involves known values of cosine of alpha plus beta and the product of tangents of alpha and beta. Ideal for high school students studying trigonometry.

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