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Bitte lösen mit Lösungsweg komplett und deutsch

Ich werde den Inhalt des Bildes analysieren und die angegebenen Fragen lösen.

**Analyse des Bildes:**

Der Text im Bild enthält die folgenden Informationen und Fragen:

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**Aufgabe:**  
Finde den Term \( t(x) \) so, dass die Grenzwerte am Punkt \( x = 0 \) übereinstimmen. Berechne anschließend die folgenden Grenzwerte.

1. \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 + 7x}{t(x)} \right) \]
2. \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{t(x)}{x^2 + 2x} \right) \]

**Grenzwert definieren:**  
\( t(x) = \frac{x^2 + 7x}{x^2 + 2x} \)

Berechne:

1. Den Term \( t(x) \) und prüfe, ob die Grenzwerte sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stimmen.
2. Den linken Grenzwert und rechten Grenzwert.
3. Falls der linke und rechte Grenzwert stimmen, bestätige den Gesamtgrenzwert.

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**Lösungsweg:**

**Schritt 1:** Term \( t(x) \) bestimmen

Gegeben ist:
\[ t(x) = \frac{x^2 + 7x}{x^2 + 2x} \]

Für \( x \neq 0 \) können wir den Term vereinfachen durch Ausklammern von \( x \) in Zähler und Nenner:
\[ t(x) = \frac{x(x + 7)}{x(x + 2)} = \frac{x + 7}{x + 2}, \quad x \neq 0 \]

**Schritt 2:** Grenzwert berechnen

**1.** \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 + 7x}{t(x)} \right) \]

Wir setzen \( t(x) \) ein:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 + 7x}{\frac{x+7}{x+2}} \right) \]

Das ist äquivalent zu:
\[ \lim_{x \to 0} \left( (x^2 + 7x) \cdot \frac{x+2}{x+7} \right) \]

Indem wir \( x = 0 \) einsetzen (direkte Substitution, da der Ausdruck nicht mehr undefiniert ist):
\[ = (0^2 + 7 \cdot 0) \cdot \frac{0+2}{0+7} = 0 \cdot \frac{2}{7} = 0 \]

**2.** \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{t(x)}{x^2 + 2x} \right) \]

Setze \( t(x) \) ein:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\frac{x+7}{x+2}}{x^2 + 2x} \right) \]

Durch Umformen:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x+7}{(x+2)(x^2 + 2x)} \right) \]

Setzen wir \( x = 0 \) ein:
\[ = \frac{0+7}{(0+2)(0^2 + 2 \cdot 0)} = \frac{7}{0} \]

Da wir eine Division durch Null erhalten, ist dieser Grenzwert nicht definiert.

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Damit sind die Aufgaben und Lösungswege für die Grenzwerte aufgezeigt. Haben Sie Fragen oder möchten Sie weitere Details zu diesen Berechnungen? 

**Verwandte Fragen:**

1. Was ist der Unterschied zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Grenzwert?
2. Wie definiert man den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt?
3. Welche Techniken gibt es zur Berechnung von Grenzwerten?
4. Was sind häufige Grenzwertsätze, die in der Mathematik verwendet werden?
5. Wie geht man mit Grenzwerten um, die Unbestimmtheiten wie \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) enthalten?
6. Was versteht man unter stetigen Funktionen im Kontext von Grenzwerten?
7. Wie können L'Hôpital'sche Regeln bei der Grenzwertberechnung helfen?
8. Wie werden Grenzwerte in höheren Dimensionen definiert und berechnet?

**Tipp:** Beim Umgang mit Grenzwerten ist es oft hilfreich, bekannte Grenzwertsätze und -regeln wie den Sandwich-Satz oder den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit zu kennen.

Explore how to calculate limits at x = 0 with detailed step-by-step solutions. This problem covers key concepts in limits and function analysis, including limit laws and the definition of limits. Suitable for university-level students.

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