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Aufgabe 9 verlangt die Berechnung der Koordinaten der Vektoren \( \overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{M_2M_3}, \overrightarrow{M_3M_4}, \overrightarrow{M_4M_1} \), wobei die Punkte \( M_1, M_2, M_3, M_4 \) die Diagonalenschnittpunkte der Vierecke des Quaders ABCDEFGH in Abbildung 2 sind.

### Vorgehensweise:

1. **Koordinaten der Eckpunkte bestimmen**:
   Die Eckpunkte des Quaders sind in der Abbildung gegeben:
   - \( A(3, 2, -1) \)
   - \( B(3, 6, -1) \)
   - \( C(6, 6, -1) \)
   - \( D(6, 2, -1) \)
   - \( E(3, 2, 2) \)
   - \( F(6, 6, 2) \)
   - \( G(6, 6, 2) \)
   - \( H(1, 2, 2) \)

2. **Diagonalenschnittpunkte bestimmen**:
   - \( M_1 \): Diagonalenschnittpunkt des Vierecks ABCD.
   - \( M_2 \): Diagonalenschnittpunkt des Vierecks BCGF.
   - \( M_3 \): Diagonalenschnittpunkt des Vierecks CDHG.
   - \( M_4 \): Diagonalenschnittpunkt des Vierecks ADHE.

   Um die Diagonalenschnittpunkte zu berechnen, verwenden wir den Mittelwert der Koordinaten der Eckpunkte der jeweiligen Vierecke.

   \[
   M_1 = \text{Mittelpunkt von} \, A \, \text{und} \, C
   \]
   \[
   M_1 = \left( \frac{3 + 6}{2}, \frac{2 + 6}{2}, \frac{-1 + -1}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{8}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (4.5, 4, -1)
   \]

   \[
   M_2 = \text{Mittelpunkt von} \, B \, \text{und} \, F
   \]
   \[
   M_2 = \left( \frac{3 + 6}{2}, \frac{6 + 6}{2}, \frac{-1 + 2}{2} \right) = (4.5, 6, 0.5)
   \]

   \[
   M_3 = \text{Mittelpunkt von} \, C \, \text{und} \, H
   \]
   \[
   M_3 = \left( \frac{6 + 1}{2}, \frac{6 + 2}{2}, \frac{-1 + 2}{2} \right) = (3.5, 4, 0.5)
   \]

   \[
   M_4 = \text{Mittelpunkt von} \, A \, \text{und} \, H
   \]
   \[
   M_4 = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}, \frac{-1 + 2}{2} \right) = (2, 2, 0.5)
   \]

3. **Berechnung der Vektoren**:
   Nun bestimmen wir die Vektoren:
   - \( \overrightarrow{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (4.5, 6, 0.5) - (4.5, 4, -1) = (0, 2, 1.5) \)
   - \( \overrightarrow{M_2M_3} = M_3 - M_2 = (3.5, 4, 0.5) - (4.5, 6, 0.5) = (-1, -2, 0) \)
   - \( \overrightarrow{M_3M_4} = M_4 - M_3 = (2, 2, 0.5) - (3.5, 4, 0.5) = (-1.5, -2, 0) \)
   - \( \overrightarrow{M_4M_1} = M_1 - M_4 = (4.5, 4, -1) - (2, 2, 0.5) = (2.5, 2, -1.5) \)

Damit haben wir die Vektoren:
\[
\overrightarrow{M_1M_2} = (0, 2, 1.5), \quad \overrightarrow{M_2M_3} = (-1, -2, 0), \quad \overrightarrow{M_3M_4} = (-1.5, -2, 0), \quad \overrightarrow{M_4M_1} = (2.5, 2, -1.5)
\]

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**Tipp:** Bei der Berechnung von Vektoren in 3D ist es hilfreich, die Koordinaten systematisch zu ordnen und die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zu verwenden.

Löse eine Geometrieaufgabe, bei der die Vektoren in einem 3D-Quader berechnet werden. Berechne die Diagonalenschnittpunkte der Vierecke und die Vektoren zwischen diesen Punkten mit der Mittelpunktformel und Vektorsubtraktion. Geeignet für Schülerinnen und Schüler der 10.-12. Klasse.

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