Entiendo tu enfoque. Vamos a profundizar en la integral $\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz$, ya que has señalado correctamente que $\operatorname{Re}(i z)$ no es analítica y no cumple con las condiciones del teorema de Cauchy-Goursat ni del teorema fundamental del cálculo de contornos cerrados.

Dado que $\operatorname{Re}(i z) = -y$ donde $z = x + iy$, procedemos a reescribir la integral y evaluar esta parte específica.

Primero, reescribimos la integral considerando que $dz = dx + idy$:

$4 \operatorname{Re}(i z) = 4(-y)$

La integral se convierte en:

$\oint_{c} 4 (-y) \, dz$

Dado que el contorno es un cuadrado centrado en el origen con lados de longitud 2, podemos parametrizar el contorno en las cuatro secciones del cuadrado:

1. Desde $(-1, -1)$ a $(1, -1)$ (segmento inferior): $z = x - i, \quad -1 \leq x \leq 1 \quad \text{con} \quad dz = dx$ La integral en este segmento es: $\int_{-1}^{1} 4(-(-1)) \, dx = \int_{-1}^{1} 4 \, dx = 4 \cdot (1 - (-1)) = 8$

2. Desde $(1, -1)$ a $(1, 1)$ (segmento derecho): $z = 1 + iy, \quad -1 \leq y \leq 1 \quad \text{con} \quad dz = i dy$ La integral en este segmento es: $\int_{-1}^{1} 4(-y) \cdot i \, dy = 4i \int_{-1}^{1} -y \, dy = -4i \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{1} = -4i \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0$

3. Desde $(1, 1)$ a $(-1, 1)$ (segmento superior): $z = x + i, \quad 1 \geq x \geq -1 \quad \text{con} \quad dz = dx$ La integral en este segmento es: $\int_{1}^{-1} 4(-1) \, dx = \int_{1}^{-1} -4 \, dx = -4 \cdot (-1 - 1) = 8$

4. Desde $(-1, 1)$ a $(-1, -1)$ (segmento izquierdo): $z = -1 + iy, \quad 1 \geq y \geq -1 \quad \text{con} \quad dz = i dy$ La integral en este segmento es: $\int_{1}^{-1} 4(-y) \cdot i \, dy = 4i \int_{1}^{-1} -y \, dy = -4i \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{-1} = -4i \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0$

Sumando las contribuciones de todos los segmentos, obtenemos:

$\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz = 8 + 0 + 8 + 0 = 16$

Entonces, la integral total es:

$\oint _{c} \left(\sin(\pi i z) + \frac{1}{z^{2}} + 4 \operatorname{Re}(i z)\right) \, dz = 0 + 0 + 16 = 16$

Confirmamos que la integral $\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz$ no es cero debido a que $\operatorname{Re}(i z)$ no es analítica y su contribución no se anula.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta específica sobre este cálculo?

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Puedes preguntar sobre:

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2. Integrales de funciones no analíticas.
3. Teorema de la integral de contorno y sus aplicaciones.
4. Propiedades de las funciones complejas y analíticas.
5. Ejemplos de integrales sobre contornos complejos distintos a cuadrados.

Tip: Asegúrate de analizar la naturaleza de la función (si es analítica o no) para determinar el método correcto de integración en contornos complejos.