observar que la integral de (\sin(\pi i z)) es cero aplicando teorema fundamental de contorno cerrado. La integral 
\frac{1}{z^{^{2}}} tambien es cero por el teorema fundamental del calculo de contorno cerrado. La integral (4* \operatorname{Re}(i*z)) tiene que ser diferente de cero ya que no cumple las condiciones de couchy-goursat y del teorema fundamental del calculo de contorno cerrado, ya que la funcion Parte real no tiene derivada por ende no es analitica

Entiendo tu enfoque. Vamos a profundizar en la integral \(\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz\), ya que has señalado correctamente que \(\operatorname{Re}(i z)\) no es analítica y no cumple con las condiciones del teorema de Cauchy-Goursat ni del teorema fundamental del cálculo de contornos cerrados.

Dado que \( \operatorname{Re}(i z) = -y \) donde \(z = x + iy\), procedemos a reescribir la integral y evaluar esta parte específica.

Primero, reescribimos la integral considerando que \(dz = dx + idy\):

\[
4 \operatorname{Re}(i z) = 4(-y)
\]

La integral se convierte en:

\[
\oint_{c} 4 (-y) \, dz
\]

Dado que el contorno es un cuadrado centrado en el origen con lados de longitud 2, podemos parametrizar el contorno en las cuatro secciones del cuadrado:

1. Desde \((-1, -1)\) a \((1, -1)\) (segmento inferior):
   \[
   z = x - i, \quad -1 \leq x \leq 1 \quad \text{con} \quad dz = dx
   \]
   La integral en este segmento es:
   \[
   \int_{-1}^{1} 4(-(-1)) \, dx = \int_{-1}^{1} 4 \, dx = 4 \cdot (1 - (-1)) = 8
   \]

2. Desde \((1, -1)\) a \((1, 1)\) (segmento derecho):
   \[
   z = 1 + iy, \quad -1 \leq y \leq 1 \quad \text{con} \quad dz = i dy
   \]
   La integral en este segmento es:
   \[
   \int_{-1}^{1} 4(-y) \cdot i \, dy = 4i \int_{-1}^{1} -y \, dy = -4i \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{1} = -4i \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0
   \]

3. Desde \((1, 1)\) a \((-1, 1)\) (segmento superior):
   \[
   z = x + i, \quad 1 \geq x \geq -1 \quad \text{con} \quad dz = dx
   \]
   La integral en este segmento es:
   \[
   \int_{1}^{-1} 4(-1) \, dx = \int_{1}^{-1} -4 \, dx = -4 \cdot (-1 - 1) = 8
   \]

4. Desde \((-1, 1)\) a \((-1, -1)\) (segmento izquierdo):
   \[
   z = -1 + iy, \quad 1 \geq y \geq -1 \quad \text{con} \quad dz = i dy
   \]
   La integral en este segmento es:
   \[
   \int_{1}^{-1} 4(-y) \cdot i \, dy = 4i \int_{1}^{-1} -y \, dy = -4i \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{-1} = -4i \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0
   \]

Sumando las contribuciones de todos los segmentos, obtenemos:

\[
\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz = 8 + 0 + 8 + 0 = 16
\]

Entonces, la integral total es:

\[
\oint _{c} \left(\sin(\pi i z) + \frac{1}{z^{2}} + 4 \operatorname{Re}(i z)\right) \, dz = 0 + 0 + 16 = 16
\]

Confirmamos que la integral \(\oint_{c} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz\) no es cero debido a que \(\operatorname{Re}(i z)\) no es analítica y su contribución no se anula.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta específica sobre este cálculo?

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Puedes preguntar sobre:

1. Cómo parametrizar diferentes tipos de contornos.
2. Integrales de funciones no analíticas.
3. Teorema de la integral de contorno y sus aplicaciones.
4. Propiedades de las funciones complejas y analíticas.
5. Ejemplos de integrales sobre contornos complejos distintos a cuadrados.

**Tip:** Asegúrate de analizar la naturaleza de la función (si es analítica o no) para determinar el método correcto de integración en contornos complejos.

Explore the complex analysis problem involving contour integration of 4*Re(i*z). Learn about the Cauchy-Goursat theorem and the fundamental theorem of contour integrals. Suitable for advanced undergraduate students and those interested in complex analysis.

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