例4.2 解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-4 x+3 y+t \\
\frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t}
\end{array} .\right.
$$

解 方程组可以化成
$$
x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}-12 x=1+3 \mathrm{e}^{2 t} .
$$

第一步是怎么来的

要将给定的微分方程组化为单个微分方程，可以按照以下步骤进行：

我们从给定的方程组出发：
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-4 x+3 y+t \\
\frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t}
\end{array} .\right.
$$

首先对第一个方程两边求导：
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right) = \frac{d}{dt} (-4x + 3y + t)
$$

我们得到了：
$$
\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 3 \frac{d y}{d t} + 1
$$

现在利用第二个方程 $\frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t}$，将其代入到上式中：
$$
\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 3 (4 x + \mathrm{e}^{2 t}) + 1
$$

整理方程：
$$
\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 12 x + 3 \mathrm{e}^{2 t} + 1
$$

这就是化简后的单个微分方程：
$$
x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}-12 x=1+3 \mathrm{e}^{2 t} .
$$

所以，第一步是对第一个方程���边求导，并用第二个方程替代 $\frac{d y}{d t}$。

有需要更多详细步骤或有任何问题吗？  
以下是您可以进一步探索的5个问题：
1. 如何解这个二阶线性非齐次微分方程？
2. 什么是特征方程及其在求解微分方程中的作用？
3. 在求解微分方程时，什么是齐次解和特解？
4. 什么是初始条件，它们如何影响微分方程的解？
5. 可以举一些实际应用中的例子吗？

**提示**：在求解微分方程时，先找出齐次解，再找特解是常见的方法。

Learn how to transform and solve a system of differential equations step-by-step. This problem involves converting a system into a single second-order differential equation, suitable for advanced undergraduate students.

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