Solve the System of Differential Equations Step-by-Step

Math Problem Statement

例4.2 解方程组

\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-4 x+3 y+t \\ \frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t} \end{array} .\right.

解方程组可以化成

x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}-12 x=1+3 \mathrm{e}^{2 t} .

第一步是怎么来的

要将给定的微分方程组化为单个微分方程，可以按照以下步骤进行：

我们从给定的方程组出发：

\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-4 x+3 y+t \\ \frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t} \end{array} .\right.

首先对第一个方程两边求导：

\frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right) = \frac{d}{dt} (-4x + 3y + t)

我们得到了：

\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 3 \frac{d y}{d t} + 1

现在利用第二个方程 $\frac{d y}{d t}=4 x+\mathrm{e}^{2 t}$，将其代入到上式中：

\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 3 (4 x + \mathrm{e}^{2 t}) + 1

整理方程：

\frac{d^2 x}{d t^2} = -4 \frac{d x}{d t} + 12 x + 3 \mathrm{e}^{2 t} + 1

这就是化简后的单个微分方程：

x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}-12 x=1+3 \mathrm{e}^{2 t} .

所以，第一步是对第一个方程��边求导，并用第二个方程替代 $\frac{d y}{d t}$ 。

有需要更多详细步骤或有任何问题吗？
以下是您可以进一步探索的5个问题：

提示：在求解微分方程时，先找出齐次解，再找特解是常见的方法。

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