Encontrar la ecuación de la elipse que tiene un vertice en (2,-2) y un extremo del eje menor en (5,-1)

Para encontrar la ecuación de la elipse con un vértice en \((2, -2)\) y un extremo del eje menor en \((5, -1)\), sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Determinar el centro de la elipse
Sabemos que el vértice y el extremo del eje menor están ubicados a lo largo de los ejes principales de la elipse, y el centro de la elipse estará en el punto medio entre estos dos puntos.

Llamemos al centro de la elipse \((h, k)\). Calculamos las coordenadas del centro como el punto medio entre el vértice \((2, -2)\) y el extremo del eje menor \((5, -1)\):
\[
h = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5
\]
\[
k = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5
\]
Entonces, el centro de la elipse es \((h, k) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{3}{2} \right)\).

### Paso 2: Determinar la longitud de los semiejes
- **Semieje mayor (a):** Dado que \((2, -2)\) es un vértice, la distancia desde el centro al vértice es la longitud del semieje mayor \(a\).
  
  Calculamos la distancia entre \((h, k)\) y \((2, -2)\):
  \[
  a = \sqrt{\left( 3.5 - 2 \right)^2 + \left( -1.5 + 2 \right)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{2.25 + 0.25} = \sqrt{2.5} = \frac{\sqrt{10}}{2}
  \]

- **Semieje menor (b):** Similarmente, la distancia desde el centro al extremo del eje menor es la longitud del semieje menor \(b\).
  
  Calculamos la distancia entre \((h, k)\) y \((5, -1)\):
  \[
  b = \sqrt{\left( 3.5 - 5 \right)^2 + \left( -1.5 + 1 \right)^2} = \sqrt{(-1.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{2.25 + 0.25} = \sqrt{2.5} = \frac{\sqrt{10}}{2}
  \]

### Paso 3: Escribir la ecuación de la elipse
Dado que \(a\) y \(b\) son iguales, la elipse es en realidad un círculo. La ecuación de un círculo con centro en \((h, k)\) y radio \(r\) es:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
Donde \(r = \frac{\sqrt{10}}{2}\).

Sustituyendo \(h = \frac{7}{2}\) y \(k = -\frac{3}{2}\), obtenemos la ecuación:
\[
\left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2
\]
Simplificando:
\[
\left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
\]

### Respuesta Final:
La ecuación de la elipse es:
\[
\left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5}{2}
\]

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría profundizar en algún punto? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la excentricidad de una elipse?
2. ¿Qué pasa si \(a \neq b\) en la ecuación de la elipse?
3. ¿Cómo se derivan las coordenadas de los focos de una elipse?
4. ¿Qué representa el término \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) en la geometría de una elipse?
5. ¿Cómo afecta la orientación de los ejes principales en la ecuación de una elipse?

**Tip:** Cuando \(a = b\), la elipse se convierte en un círculo, y la fórmula general se simplifica a la ecuación de un círculo.

Aprende cómo encontrar la ecuación de una elipse con un vértice en (2,-2) y un extremo del eje menor en (5,-1). Este problema cubre conceptos clave de geometría, incluida la fórmula de la ecuación de un círculo. Adecuado para estudiantes en los grados 10-12.

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