Para reducir la ecuación general de la elipse $x^2 + 4y^2 + 2x - 12y + 6 = 0$ a la ecuación ordinaria, seguiremos estos pasos:

1. Reorganizar los términos: $x^2 + 2x + 4y^2 - 12y + 6 = 0$

2. Completar el cuadrado para los términos en $x$: $x^2 + 2x \rightarrow (x^2 + 2x + 1 - 1) = (x + 1)^2 - 1$

3. Completar el cuadrado para los términos en $y$: $4y^2 - 12y \rightarrow 4(y^2 - 3y) \rightarrow 4(y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 4\left( \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \right) = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9$

4. Sustituir en la ecuación original: $(x + 1)^2 - 1 + 4\left( (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right) + 6 = 0$ Simplificando: $(x + 1)^2 - 1 + 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9 + 6 = 0$ $(x + 1)^2 + 4(y - \frac{3}{2})^2 - 4 = 0$

5. Aislar el término constante: $(x + 1)^2 + 4(y - \frac{3}{2})^2 = 4$

6. Dividir por 4 para obtener la forma estándar de la elipse: $\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - \frac{3}{2})^2}{1} = 1$

La ecuación ordinaria de la elipse es: $\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - \frac{3}{2})^2}{1} = 1$

Esto representa una elipse centrada en $(-1, \frac{3}{2})$ con semi-ejes de longitud 2 en la dirección $x$ y 1 en la dirección $y$.

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Tip

Completar el cuadrado es una técnica útil no solo para cónicas, sino también para resolver ecuaciones cuadráticas y entender la geometría de funciones cuadráticas.