Reducir la ecuación general de la elipse: x2+4y2+2x-12y+6=0 a la ecuación ordinaria de la elipse

Para reducir la ecuación general de la elipse \( x^2 + 4y^2 + 2x - 12y + 6 = 0 \) a la ecuación ordinaria, seguiremos estos pasos:

1. **Reorganizar los términos**:
   \[
   x^2 + 2x + 4y^2 - 12y + 6 = 0
   \]

2. **Completar el cuadrado para los términos en \( x \)**:
   \[
   x^2 + 2x \rightarrow (x^2 + 2x + 1 - 1) = (x + 1)^2 - 1
   \]

3. **Completar el cuadrado para los términos en \( y \)**:
   \[
   4y^2 - 12y \rightarrow 4(y^2 - 3y) \rightarrow 4(y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 4\left( \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \right) = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9
   \]

4. **Sustituir en la ecuación original**:
   \[
   (x + 1)^2 - 1 + 4\left( (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right) + 6 = 0
   \]
   Simplificando:
   \[
   (x + 1)^2 - 1 + 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9 + 6 = 0
   \]
   \[
   (x + 1)^2 + 4(y - \frac{3}{2})^2 - 4 = 0
   \]

5. **Aislar el término constante**:
   \[
   (x + 1)^2 + 4(y - \frac{3}{2})^2 = 4
   \]

6. **Dividir por 4 para obtener la forma estándar de la elipse**:
   \[
   \frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - \frac{3}{2})^2}{1} = 1
   \]

La ecuación ordinaria de la elipse es:
\[
\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - \frac{3}{2})^2}{1} = 1
\]

Esto representa una elipse centrada en \((-1, \frac{3}{2})\) con semi-ejes de longitud 2 en la dirección \(x\) y 1 en la dirección \(y\).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

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### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se completan los cuadrados en otros tipos de cónicas?
2. ¿Cuál es la diferencia entre la forma estándar y la forma general de una elipse?
3. ¿Cómo se encuentra el centro de una elipse dada su ecuación general?
4. ¿Qué representan los términos de la ecuación ordinaria de una elipse?
5. ¿Cómo afecta la orientación de una elipse en el plano a su ecuación?
6. ¿Cómo se determina el eje mayor y el eje menor de una elipse?
7. ¿Qué métodos alternativos existen para convertir una ecuación general a la forma estándar?
8. ¿Cómo se derivan las ecuaciones de las cónicas a partir de su definición geométrica?

### Tip

Completar el cuadrado es una técnica útil no solo para cónicas, sino también para resolver ecuaciones cuadráticas y entender la geometría de funciones cuadráticas.

Learn how to reduce the general equation of an ellipse to its ordinary form with a detailed step-by-step solution. This problem covers key concepts in ellipse geometry and completing the square method. Suitable for advanced high school students and beyond.

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