https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1725151637718hpgyg3fh.jpg

L'expression donnée est :

\[
\mathbb{E}(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} \mathbb{E}(B_k) + 1
\]

Pour exprimer \(\mathbb{E}(B_k)\), nous devons d'abord comprendre qu'il s'agit d'une relation de récurrence. Commençons par développer cette relation en calculant quelques valeurs successives.

### Étape 1 : Calcul des premiers termes

- Pour \(k = 0\) :
\[
\mathbb{E}(B_1) = \frac{0+1}{0+2} \mathbb{E}(B_0) + 1 = \frac{1}{2} \mathbb{E}(B_0) + 1
\]

- Pour \(k = 1\) :
\[
\mathbb{E}(B_2) = \frac{1+1}{1+2} \mathbb{E}(B_1) + 1 = \frac{2}{3} \mathbb{E}(B_1) + 1
\]

- Pour \(k = 2\) :
\[
\mathbb{E}(B_3) = \frac{2+1}{2+2} \mathbb{E}(B_2) + 1 = \frac{3}{4} \mathbb{E}(B_2) + 1
\]

### Étape 2 : Exprimer la récurrence

Nous observons que chaque terme dépend du terme précédent de manière multiplicative par un coefficient \(\frac{k+1}{k+2}\) et une addition d'une constante.

### Étape 3 : Résolution de la récurrence

Pour généraliser, exprimons la relation de manière récursive:

\[
\mathbb{E}(B_k) = \sum_{j=0}^{k-1} \left(\prod_{i=j}^{k-1} \frac{i+1}{i+2}\right) + \text{une constante}
\]

Cependant, sans plus d'informations sur la valeur initiale \(\mathbb{E}(B_0)\), il est difficile de donner une forme fermée exacte.

**Conclusion** : Pour donner l'expression explicite de \(\mathbb{E}(B_k)\), il faut une condition initiale comme \(\mathbb{E}(B_0)\). Sans cette condition, la solution est mieux exprimée par la forme récurrente ci-dessus.

Est-ce que vous avez des questions supplémentaires ou souhaitez plus de détails ?

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Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir le sujet :
1. Comment résoudre cette équation de récurrence en connaissant \(\mathbb{E}(B_0)\) ?
2. Quelles sont les méthodes pour trouver une solution fermée à une équation récurrente ?
3. Quelle est l'importance de la condition initiale dans les équations récurrentes ?
4. Comment la solution change-t-elle si l'on modifie la constante ajoutée (ici +1) ?
5. Comment pourrait-on interpréter cette relation dans un contexte probabiliste ?

**Tip** : Lors de la résolution d'une équation de récurrence, il est souvent utile de calculer les premiers termes pour identifier un modèle ou une solution possible.

Explore the expected value \( \mathbb{E}(B_k) \) of a sequence defined by the recurrence relation \( \mathbb{E}(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} \mathbb{E}(B_k) + 1 \). Understand the mathematical process to derive the expected value, including examples and step-by-step calculations. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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