D'accord, détaillons étape par étape le calcul pour prouver que :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} E(B_k) + 1.
\]

### Étape 1 : Définition de l'espérance

L'espérance mathématique \(E(B_{k+1})\) est donnée par la somme :

\[
E(B_{k+1}) = \sum_{n=0}^\infty n \cdot P(B_{k+1} = n).
\]

### Étape 2 : Utilisation de la formule de récurrence

Utilisons la formule de récurrence fournie pour \(P(B_{k+1} = n)\) :

\[
P(B_{k+1} = n) = \frac{n}{k+2} P(B_k = n) + \frac{3+k-n}{k+2} P(B_k = n-1).
\]

En substituant cette formule dans l'expression de \(E(B_{k+1})\), nous obtenons :

\[
E(B_{k+1}) = \sum_{n=0}^\infty n \left( \frac{n}{k+2} P(B_k = n) + \frac{3+k-n}{k+2} P(B_k = n-1) \right).
\]

### Étape 3 : Séparation des sommes

Nous séparons la somme en deux parties :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{1}{k+2} \left( \sum_{n=0}^\infty n^2 P(B_k = n) + \sum_{n=0}^\infty n(3+k-n) P(B_k = n-1) \right).
\]

#### Partie 1 : La première somme

La première somme est :

\[
\sum_{n=0}^\infty n^2 P(B_k = n) = E(B_k^2).
\]

#### Partie 2 : La deuxième somme

Pour la deuxième somme, changeons l'indice de sommation pour simplifier l'expression. Si nous posons \(m = n-1\), alors \(n = m+1\), et la somme devient :

\[
\sum_{m=-1}^\infty (m+1)(3+k-(m+1)) P(B_k = m).
\]

Notons que lorsque \(m = -1\), le terme correspondant est nul car \(P(B_k = -1) = 0\). Nous pouvons donc commencer la somme à partir de \(m = 0\) :

\[
\sum_{m=0}^\infty (m+1)(2+k-m) P(B_k = m).
\]

Développons cette expression :

\[
\sum_{m=0}^\infty \left( (m+1)(2+k) - (m+1)m \right) P(B_k = m).
\]

En la réécrivant, nous avons :

\[
(2+k) \sum_{m=0}^\infty (m+1) P(B_k = m) - \sum_{m=0}^\infty (m^2 + m) P(B_k = m).
\]

Reconnaissons que :

\[
\sum_{m=0}^\infty (m+1) P(B_k = m) = E(B_k) + 1,
\]
et
\[
\sum_{m=0}^\infty m^2 P(B_k = m) = E(B_k^2), \quad \sum_{m=0}^\infty m P(B_k = m) = E(B_k).
\]

### Étape 4 : Combinaison des résultats

En combinant ces résultats dans l'expression originale pour \(E(B_{k+1})\), nous obtenons :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{1}{k+2} \left( E(B_k^2) + (2+k)(E(B_k) + 1) - (E(B_k^2) + E(B_k)) \right).
\]

Simplifions l'expression :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{1}{k+2} \left( (2+k)E(B_k) + (2+k) - E(B_k) \right),
\]

\[
E(B_{k+1}) = \frac{1}{k+2} \left( (1+k)E(B_k) + (2+k) \right).
\]

En factorisant, nous avons :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} E(B_k) + 1.
\]

### Conclusion

Nous avons donc prouvé que :

\[
E(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} E(B_k) + 1.
\]

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? 

### Questions connexes :
1. Comment pourrait-on calculer la variance de \(B_k\) en utilisant une méthode similaire ?
2. Quelle est la forme générale de \(E(B_k)\) en fonction de \(k\) ?
3. Comment peut-on résoudre pour \(P(B_k = n)\) explicitement à partir de la formule de récurrence ?
4. Comment utiliser les fonctions génératrices pour résoudre des problèmes similaires ?
5. Quelles sont les propriétés de convergence de la suite \(E(B_k)\) pour de grandes valeurs de \(k\) ?

### Astuce :
Lorsqu'on travaille avec des récurrences, il est souvent utile de changer l'indice de sommation pour simplifier les expressions et isoler les termes en espérance ou variance.

Explore the step-by-step calculation process of E(B_{k+1}) using the recursive formula \( E(B_{k+1}) = \frac{k+1}{k+2} E(B_k) + 1 \). Understand the concepts of probability theory and mathematical expectation. Suitable for advanced mathematics students and enthusiasts.

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