Scrivi l'equazione dell'iperbole (1) avente per asintoti le rette di equazioni y=±x√5, passante per il punto A(-2;4).

Per determinare l'equazione dell'iperbole avente gli asintoti dati e passante per un punto specifico, seguiamo questi passaggi:

### 1. Identificazione della forma dell'equazione dell'iperbole
L'iperbole con asintoti \( y = \pm mx \) (dove \( m \) è la pendenza) ha una forma standard:

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

dove la relazione tra \( a \), \( b \), e \( m \) è \( m = \frac{b}{a} \).

### 2. Determinazione dei valori di \( a \) e \( b \)
Gli asintoti dati sono \( y = \pm x\sqrt{5} \). Quindi, la pendenza \( m \) è \( \sqrt{5} \).

Da \( m = \frac{b}{a} \), otteniamo:
\[
\sqrt{5} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a\sqrt{5}
\]

### 3. Forma specifica dell'equazione
Sostituendo \( b = a\sqrt{5} \) nell'equazione dell'iperbole, otteniamo:

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5a^2} = 1
\]

Moltiplicando entrambi i lati per \( 5a^2 \), l'equazione diventa:

\[
5x^2 - y^2 = 5a^2
\]

### 4. Determinazione di \( a \) usando il punto \( A(-2, 4) \)
Poiché l'iperbole passa per \( A(-2, 4) \), sostituiamo queste coordinate nell'equazione:

\[
5(-2)^2 - 4^2 = 5a^2
\]
\[
5 \cdot 4 - 16 = 5a^2
\]
\[
20 - 16 = 5a^2
\]
\[
4 = 5a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{4}{5}
\]

### 5. Equazione finale
Sostituendo \( a^2 = \frac{4}{5} \) nell'equazione dell'iperbole, otteniamo l'equazione finale:

\[
\frac{x^2}{\frac{4}{5}} - \frac{y^2}{\frac{4}{1}} = 1
\]

Moltiplicando tutto per 5, si semplifica ulteriormente:

\[
5x^2 - \frac{5}{4}y^2 = 4
\]

Quindi, l'equazione finale dell'iperbole è:

\[
20x^2 - 5y^2 = 16
\]

### Domande correlate:
1. Come si determinano le equazioni degli asintoti per un'iperbole?
2. Qual è la relazione tra \( a \), \( b \) e la pendenza degli asintoti di un'iperbole?
3. Quali sono i passi per trovare l'equazione di un'iperbole dato un punto su di essa?
4. Come si può confermare che un punto appartiene a una determinata iperbole?
5. Qual è l'importanza della costante nella forma standard dell'equazione dell'iperbole?
6. Come cambia l'equazione dell'iperbole se gli asintoti hanno pendenze diverse?
7. Come si determina il centro di un'iperbole con asintoti non centrati nell'origine?
8. Quali sono le differenze tra iperboli orizzontali e verticali?

**Tip:** Assicurati di verificare i calcoli finali per confermare che il punto dato soddisfa effettivamente l'equazione dell'iperbole ottenuta.

Scopri come determinare l'equazione dell'iperbole con asintoti y=±x√5 passante per il punto A(-2;4). Questo problema copre concetti avanzati delle sezioni coniche, includendo la forma standard dell'equazione di un'iperbole e il calcolo dei parametri a partire da condizioni specifiche. Adatto per studenti delle scuole superiori avanzate.

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