Determinare l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per i punti A(3,0) e B(2,-3) e avente il vertice appartenente alla retta di equazione y = 2x - 6

Per determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse \( y \), passante per i punti \( A(3,0) \) e \( B(2,-3) \) e avente il vertice appartenente alla retta di equazione \( y = 2x - 6 \), seguiamo questi passaggi:

### 1. Forma canonica della parabola
L'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse \( y \) è della forma:
\[
y = ax^2 + bx + c
\]
Dove \( a \), \( b \), e \( c \) sono costanti da determinare.

### 2. Uso dei punti A e B
Sappiamo che la parabola passa per i punti \( A(3,0) \) e \( B(2,-3) \). Inserendo queste coordinate nell'equazione della parabola, otteniamo due equazioni:

\[
0 = a(3)^2 + b(3) + c \quad \text{(equazione 1)}
\]
\[
-3 = a(2)^2 + b(2) + c \quad \text{(equazione 2)}
\]

### 3. Determinazione del vertice
Poiché il vertice \( V(h, k) \) della parabola si trova sulla retta \( y = 2x - 6 \), sappiamo che:
\[
k = 2h - 6
\]
Il vertice della parabola in forma canonica è dato da \( h = -\frac{b}{2a} \) e \( k = c - \frac{b^2}{4a} \).

Quindi, abbiamo:
\[
c - \frac{b^2}{4a} = 2\left(-\frac{b}{2a}\right) - 6
\]
\[
c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{b}{a} - 6
\]

### 4. Risoluzione del sistema
Abbiamo tre equazioni:
\[
\begin{aligned}
9a + 3b + c & = 0 \quad \text{(equazione 1)} \\
4a + 2b + c & = -3 \quad \text{(equazione 2)} \\
c - \frac{b^2}{4a} & = -\frac{b}{a} - 6 \quad \text{(equazione 3)}
\end{aligned}
\]
Risolviamo queste equazioni per trovare i valori di \( a \), \( b \), e \( c \).

### 5. Soluzione
Partiamo risolvendo le prime due equazioni. Sottraendo l'equazione 2 dall'equazione 1, otteniamo:
\[
5a + b = 3 \quad \text{(equazione 4)}
\]
Poi, sostituiamo \( b = 3 - 5a \) nell'equazione 3 e risolviamo per trovare \( c \).

Dopo aver determinato \( a \), \( b \), e \( c \), sostituiamo questi valori nell'equazione della parabola:
\[
y = ax^2 + bx + c
\]

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Ecco 5 domande relative:
1. Come si risolve un sistema di equazioni non lineari?
2. Come si verifica se una parabola è concava o convessa?
3. In quali altri casi il vertice di una parabola è determinato da una retta?
4. Come si potrebbe rappresentare graficamente questa parabola?
5. Come cambierebbe l'approccio se l'asse di simmetria fosse parallelo all'asse \( x \)?

**Tip**: Controlla sempre le condizioni iniziali di un problema per ridurre le variabili in gioco.

Scopri come determinare l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per i punti A(3,0) e B(2,-3) e con il vertice sulla retta y = 2x - 6. Questa soluzione dettagliata include concetti fondamentali di geometria analitica e risoluzione di sistemi di equazioni, adatta a studenti di livello superiore.

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