Untuk menentukan persamaan hiperbola, kita memerlukan informasi seperti titik pusat, jarak sumbu utama (a), jarak sumbu sekunder (b), dan arah sumbu-sumbu hiperbola. Berikut langkah-langkahnya:

1. Menentukan titik pusat

Titik puncak hiperbola adalah (4, 2) dan (-2, 2). Titik pusat hiperbola terletak di tengah-tengah kedua titik puncak tersebut.

$\text{Titik pusat} = \left(\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = (1, 2)$

Jadi, titik pusat hiperbola adalah $(1, 2)$.

2. Menentukan jarak sumbu utama $a$

Jarak antara titik puncak (4, 2) dan (-2, 2) adalah panjang sumbu utama, yaitu $2a$. Kita dapat menghitung panjang sumbu utama:

$2a = 4 - (-2) = 6$

Maka, $a = 3$.

3. Menentukan persamaan asimtot

Diketahui salah satu asimtotnya adalah $2x - 3y + 4 = 0$. Kita dapat mencari kemiringan (gradien) dari asimtot ini:

$2x - 3y + 4 = 0 \quad \text{bentuk gradien} \quad y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

Jadi, gradien asimtot adalah $\frac{2}{3}$.

Pada hiperbola dengan sumbu horizontal, persamaan asimtot berbentuk:

$y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Dengan $h = 1$ dan $k = 2$ (titik pusat $(1, 2)$), serta diketahui gradien $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$, kita dapat menghitung nilai $b$:

$\frac{b}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad b = 2$

4. Menuliskan persamaan hiperbola

Dengan $a = 3$ dan $b = 2$, persamaan hiperbola dengan pusat di $(1, 2)$ dan sumbu utama horizontal adalah:

$\frac{(x - 1)^2}{3^2} - \frac{(y - 2)^2}{2^2} = 1$

Atau, persamaannya menjadi:

$\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{4} = 1$

Kesimpulan

Persamaan hiperbola yang memenuhi kondisi yang diberikan adalah:

$\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{4} = 1$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?

---

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan jarak antara dua titik di bidang koordinat?
2. Bagaimana cara menentukan pusat hiperbola dari dua titik puncak?
3. Apa perbedaan sumbu utama dan sumbu sekunder pada hiperbola?
4. Bagaimana cara menghitung gradien garis lurus dari persamaan umum?
5. Bagaimana cara menentukan persamaan asimtot dari persamaan hiperbola?

Tip: Dalam hiperbola, asimtot merupakan garis yang dilewati kurva tetapi tidak pernah disentuh, dan arah serta kemiringan asimtot sangat penting dalam menentukan orientasi hiperbola.