Tentukan persamaan hiperbola yang diketahui titik puncak (4, 2) dan (-2, 2) serta salah satu asimtotnya 2x − 3y + 4 = 0!

Untuk menentukan persamaan hiperbola, kita memerlukan informasi seperti titik pusat, jarak sumbu utama (a), jarak sumbu sekunder (b), dan arah sumbu-sumbu hiperbola. Berikut langkah-langkahnya:

### 1. Menentukan titik pusat
Titik puncak hiperbola adalah (4, 2) dan (-2, 2). Titik pusat hiperbola terletak di tengah-tengah kedua titik puncak tersebut.

\[
\text{Titik pusat} = \left(\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = (1, 2)
\]

Jadi, titik pusat hiperbola adalah \((1, 2)\).

### 2. Menentukan jarak sumbu utama \(a\)
Jarak antara titik puncak (4, 2) dan (-2, 2) adalah panjang sumbu utama, yaitu \(2a\). Kita dapat menghitung panjang sumbu utama:

\[
2a = 4 - (-2) = 6
\]

Maka, \(a = 3\).

### 3. Menentukan persamaan asimtot
Diketahui salah satu asimtotnya adalah \(2x - 3y + 4 = 0\). Kita dapat mencari kemiringan (gradien) dari asimtot ini:

\[
2x - 3y + 4 = 0 \quad \text{bentuk gradien} \quad y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}
\]

Jadi, gradien asimtot adalah \(\frac{2}{3}\).

Pada hiperbola dengan sumbu horizontal, persamaan asimtot berbentuk:

\[
y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)
\]

Dengan \(h = 1\) dan \(k = 2\) (titik pusat \((1, 2)\)), serta diketahui gradien \(\frac{b}{a} = \frac{2}{3}\), kita dapat menghitung nilai \(b\):

\[
\frac{b}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad b = 2
\]

### 4. Menuliskan persamaan hiperbola
Dengan \(a = 3\) dan \(b = 2\), persamaan hiperbola dengan pusat di \((1, 2)\) dan sumbu utama horizontal adalah:

\[
\frac{(x - 1)^2}{3^2} - \frac{(y - 2)^2}{2^2} = 1
\]

Atau, persamaannya menjadi:

\[
\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

### Kesimpulan
Persamaan hiperbola yang memenuhi kondisi yang diberikan adalah:

\[
\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?

---

**Pertanyaan Terkait:**

1. Bagaimana cara menentukan jarak antara dua titik di bidang koordinat?
2. Bagaimana cara menentukan pusat hiperbola dari dua titik puncak?
3. Apa perbedaan sumbu utama dan sumbu sekunder pada hiperbola?
4. Bagaimana cara menghitung gradien garis lurus dari persamaan umum?
5. Bagaimana cara menentukan persamaan asimtot dari persamaan hiperbola?

**Tip:** Dalam hiperbola, asimtot merupakan garis yang dilewati kurva tetapi tidak pernah disentuh, dan arah serta kemiringan asimtot sangat penting dalam menentukan orientasi hiperbola.

Learn how to find the equation of a hyperbola given its vertices at (4, 2) and (-2, 2), and one asymptote 2x - 3y + 4 = 0. This problem covers key concepts in conic sections, such as finding the center, vertices, and the equation of asymptotes. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation