Determinar los escalares abc , , ∈ , en cada caso, si existen, tal que = +   v au bw, siendo = (1;2;0)  u y = − (1; 1;2)  w si: a) = (2;1;2)  v b) = −( 1;7;1)  v c) =− − ( 1;1; 2)  v En caso de que existan los escalares a y b, se dice que  v es combinación lineal de  u y  w

Para determinar los escalares \( a \) y \( b \) tales que \( \vec{v} = a\vec{u} + b\vec{w} \), donde \( \vec{u} = (1, 2, 0) \) y \( \vec{w} = (-1, 1, 2) \), necesitamos resolver el sistema de ecuaciones lineales correspondiente.

Dado \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \), \( \vec{u} = (1, 2, 0) \) y \( \vec{w} = (-1, 1, 2) \), planteamos:

\[
\vec{v} = a\vec{u} + b\vec{w}
\]

Esto se traduce en el sistema de ecuaciones:

\[
(v_1, v_2, v_3) = a(1, 2, 0) + b(-1, 1, 2)
\]

Desarrollando:

\[
v_1 = a(1) + b(-1) \Rightarrow v_1 = a - b
\]
\[
v_2 = a(2) + b(1) \Rightarrow v_2 = 2a + b
\]
\[
v_3 = a(0) + b(2) \Rightarrow v_3 = 2b
\]

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{cases}
v_1 = a - b \\
v_2 = 2a + b \\
v_3 = 2b
\end{cases}
\]

Ahora resolvemos para cada caso:

### a) \( \vec{v} = (2, 1, 2) \)

Sustituyendo en el sistema:

\[
\begin{cases}
2 = a - b \quad (1) \\
1 = 2a + b \quad (2) \\
2 = 2b \quad (3)
\end{cases}
\]

De la ecuación (3):

\[
2b = 2 \Rightarrow b = 1
\]

Sustituyendo \( b = 1 \) en las ecuaciones (1) y (2):

\[
2 = a - 1 \Rightarrow a = 3
\]
\[
1 = 2(3) + 1 \Rightarrow 1 = 6 + 1 \quad (\text{Esto es falso})
\]

Por lo tanto, **no existe una combinación lineal** de \( \vec{u} \) y \( \vec{w} \) que produzca \( \vec{v} = (2, 1, 2) \).

### b) \( \vec{v} = (-1, 7, 1) \)

Sustituyendo en el sistema:

\[
\begin{cases}
-1 = a - b \quad (1) \\
7 = 2a + b \quad (2) \\
1 = 2b \quad (3)
\end{cases}
\]

De la ecuación (3):

\[
2b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}
\]

Sustituyendo \( b = \frac{1}{2} \) en las ecuaciones (1) y (2):

\[
-1 = a - \frac{1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{2}
\]
\[
7 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \quad (\text{Esto es falso})
\]

Por lo tanto, **no existe una combinación lineal** de \( \vec{u} \) y \( \vec{w} \) que produzca \( \vec{v} = (-1, 7, 1) \).

### c) \( \vec{v} = (-1, 1, -2) \)

Sustituyendo en el sistema:

\[
\begin{cases}
-1 = a - b \quad (1) \\
1 = 2a + b \quad (2) \\
-2 = 2b \quad (3)
\end{cases}
\]

De la ecuación (3):

\[
2b = -2 \Rightarrow b = -1
\]

Sustituyendo \( b = -1 \) en las ecuaciones (1) y (2):

\[
-1 = a - (-1) \Rightarrow a = 0
\]
\[
1 = 2(0) + (-1) \Rightarrow 1 = -1 \quad (\text{Esto es falso})
\]

Por lo tanto, **no existe una combinación lineal** de \( \vec{u} \) y \( \vec{w} \) que produzca \( \vec{v} = (-1, 1, -2) \).

**Conclusión**: En ninguno de los casos \( \vec{v} \) es combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{w} \).

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¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

1. ¿Qué significa combinación lineal en álgebra lineal?
2. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Qué son los espacios vectoriales?
4. ¿Cómo verificar si un vector está en el espacio generado por otros vectores?
5. ¿Qué es la dependencia e independencia lineal?

**Tip**: Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, puedes utilizar métodos como sustitución, igualación, o matrices (Gauss).

Aprende cómo determinar los escalares a y b para formar combinaciones lineales de vectores utilizando el método de sistemas de ecuaciones lineales. Casos específicos incluyen vectores en espacios tridimensionales. Adecuado para estudiantes avanzados de secundaria.

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