Dados b = (– 1, 0, 0), u = (0, 1, 4), v = (– 1, 1, 2) y w = (3, 1, 2) en R3, encuentre los escalares x, y , z, tales que sea cumpla la combinación lineal xu + yv + zw = b

Captura tu respuesta sin espacios y con dos decimales:

x =
y =
z =

Para encontrar los escalares \( x \), \( y \), y \( z \) tales que se cumpla la combinación lineal \( x\mathbf{u} + y\mathbf{v} + z\mathbf{w} = \mathbf{b} \), primero debemos expresar esta ecuación vectorialmente:

\[
x(0, 1, 4) + y(-1, 1, 2) + z(3, 1, 2) = (-1, 0, 0)
\]

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{aligned}
- y + 3z &= -1 \quad \text{(ecuación 1)} \\
x + y + z &= 0 \quad \text{(ecuación 2)} \\
4x + 2y + 2z &= 0 \quad \text{(ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

Resolveremos este sistema para \( x \), \( y \), y \( z \).

1. De la ecuación 1: \( y = 3z + 1 \).
2. Sustituyendo \( y = 3z + 1 \) en la ecuación 2:

\[
x + (3z + 1) + z = 0 \implies x + 4z + 1 = 0 \implies x = -4z - 1
\]

3. Ahora, sustituimos \( y = 3z + 1 \) y \( x = -4z - 1 \) en la ecuación 3:

\[
4(-4z - 1) + 2(3z + 1) + 2z = 0
\]
\[
-16z - 4 + 6z + 2 + 2z = 0
\]
\[
-8z - 2 = 0 \implies z = -\frac{1}{4}
\]

4. Con \( z = -\frac{1}{4} \), encontramos \( y \) y \( x \):

\[
y = 3\left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}
\]
\[
x = -4\left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = 1 - 1 = 0
\]

Por lo tanto, los valores de \( x \), \( y \), y \( z \) son:

\[
x = 0.00, \quad y = 0.25, \quad z = -0.25
\]

Explore how to find scalars x, y, z such that they satisfy the linear combination xu + yv + zw = b in R^3. This problem involves solving a system of linear equations using vector algebra. Suitable for advanced mathematics learners.

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