要找到函数 \( y = 3x^2 + 9x \) 的极小值，我们需要找到其导数并求其临界点，然后通过二阶导数来确定是否为极小值。

1. **求导数**：
   \[
   f(x) = 3x^2 + 9x
   \]
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 9x) = 6x + 9
   \]

2. **求临界点**：
   令导数等于0，求解 \( x \)：
   \[
   6x + 9 = 0
   \]
   \[
   6x = -9
   \]
   \[
   x = -\frac{3}{2}
   \]

3. **确定极小值**：
   计算二阶导数 \( f''(x) \)：
   \[
   f''(x) = \frac{d}{dx}(6x + 9) = 6
   \]
   因为 \( f''(x) = 6 > 0 \)，二阶导数为正，说明 \( x = -\frac{3}{2} \) 处是极小值点。

4. **计算极小值**：
   将 \( x = -\frac{3}{2} \) 代入原函数 \( f(x) \)：
   \[
   f\left(-\frac{3}{2}\right) = 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 9\left(-\frac{3}{2}\right)
   \]
   \[
   = 3 \cdot \frac{9}{4} - \frac{27}{2}
   \]
   \[
   = \frac{27}{4} - \frac{54}{4}
   \]
   \[
   = -\frac{27}{4}
   \]

所以，函数 \( y = 3x^2 + 9x \) 的极小值为 \( -\frac{27}{4} \) 或者 \( -6.75 \) 。

请问您是否需要更多的细节或有其他问题？

您可以选择以下任意问题来继续：
1. 如何求函数的极大值？
2. 二次函数的图像如何绘制？
3. 什么是导数的几何意义？
4. 二阶导数测试如何判断极值？
5. 其他二次函数的极值问题如何解决？

**小贴士**: 在求解导数时，准确地进行每一步计算是至关重要的，尤其是在确定临界点时。

Learn how to find the minimum value of the quadratic function y = 3x^2 + 9x. Step-by-step solution includes finding derivatives, critical points, and using the second derivative test. Suitable for advanced high school students and those studying calculus.

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