Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk : p(x,y)=k(x^2+y^2); x=-1,0,1,3 dan y=-1,2,3. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X=x!

Untuk menentukan fungsi peluang bersyarat \( p(Y=y | X=x) \), kita perlu menggunakan rumus peluang bersyarat dalam bentuk fungsi gabungan, yaitu:

\[
p(Y=y | X=x) = \frac{p(x, y)}{p_X(x)}
\]

di mana \( p_X(x) \) adalah fungsi peluang marjinal dari \( X=x \), yang dapat dihitung dengan menjumlahkan semua peluang gabungan \( p(x, y) \) pada semua nilai \( y \) yang mungkin untuk setiap nilai \( x \).

### Langkah 1: Menentukan Konstanta Normalisasi \( k \)
Fungsi gabungan diberikan sebagai \( p(x, y) = k(x^2 + y^2) \), dan kita tahu bahwa total peluang gabungan harus sama dengan 1, sehingga kita dapat menggunakan kondisi ini untuk menentukan \( k \):

\[
\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) = 1
\]

Untuk nilai \( x = -1, 0, 1, 3 \) dan nilai \( y = -1, 2, 3 \), kita hitung:

\[
\sum_{x} \sum_{y} k(x^2 + y^2) = 1
\]

Substitusi nilai-nilai yang tersedia:

- \( x = -1 \): \( (-1)^2 = 1 \)
  \[
  p(-1, y) = k(1 + (-1)^2) + k(1 + 2^2) + k(1 + 3^2) = k(1+1) + k(1+4) + k(1+9) = 2k + 5k + 10k = 17k
  \]
- \( x = 0 \): \( (0)^2 = 0 \)
  \[
  p(0, y) = k(0 + (-1)^2) + k(0 + 2^2) + k(0 + 3^2) = k(1) + k(4) + k(9) = 1k + 4k + 9k = 14k
  \]
- \( x = 1 \): \( (1)^2 = 1 \)
  \[
  p(1, y) = k(1 + (-1)^2) + k(1 + 2^2) + k(1 + 3^2) = k(1+1) + k(1+4) + k(1+9) = 2k + 5k + 10k = 17k
  \]
- \( x = 3 \): \( (3)^2 = 9 \)
  \[
  p(3, y) = k(9 + (-1)^2) + k(9 + 2^2) + k(9 + 3^2) = k(9+1) + k(9+4) + k(9+9) = 10k + 13k + 18k = 41k
  \]

Sekarang kita jumlahkan seluruh peluang:

\[
17k + 14k + 17k + 41k = 89k
\]

Karena total peluang harus sama dengan 1, kita dapat menentukan \( k \):

\[
89k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{89}
\]

### Langkah 2: Menentukan Fungsi Peluang Bersyarat
Sekarang kita dapat menghitung \( p(Y=y | X=x) \) dengan rumus yang sudah diberikan.

Sebagai contoh, untuk \( X = -1 \), peluang marjinal \( p_X(-1) \) adalah jumlah dari semua \( p(-1, y) \):

\[
p_X(-1) = p(-1, -1) + p(-1, 2) + p(-1, 3)
\]
\[
p_X(-1) = 2k + 5k + 10k = 17k = 17 \times \frac{1}{89} = \frac{17}{89}
\]

Sehingga, peluang bersyarat untuk \( X = -1 \) adalah:

\[
p(Y=-1 | X=-1) = \frac{p(-1, -1)}{p_X(-1)} = \frac{2k}{\frac{17}{89}} = \frac{2}{17}
\]
\[
p(Y=2 | X=-1) = \frac{5k}{p_X(-1)} = \frac{5}{17}
\]
\[
p(Y=3 | X=-1) = \frac{10k}{p_X(-1)} = \frac{10}{17}
\]

### Langkah 3: Ulangi untuk Nilai-nilai X Lainnya
Kita dapat mengulangi langkah yang sama untuk nilai \( X = 0, 1, 3 \) untuk menemukan peluang bersyarat masing-masing.

Apakah Anda ingin saya menghitung seluruh peluang bersyarat lainnya atau menjelaskan langkah-langkah tertentu lebih lanjut?

---

**5 Pertanyaan Relatif**:
1. Bagaimana cara menghitung peluang marginal dari \( p_X(x) \) untuk semua nilai \( x \)?
2. Apa fungsi peluang gabungan jika konstanta normalisasi \( k \) tidak diketahui?
3. Bagaimana peluang bersyarat membantu dalam pemodelan probabilitas multivariabel?
4. Apa itu fungsi distribusi kumulatif (CDF) dan bagaimana cara menghitungnya dari fungsi peluang bersyarat?
5. Bagaimana cara memeriksa apakah dua variabel acak \( X \) dan \( Y \) independen menggunakan peluang bersyarat?

**Tip**: Dalam peluang bersyarat, selalu pastikan bahwa jumlah dari semua nilai peluang bersyarat untuk satu kondisi (misalnya \( X = x \)) selalu bernilai 1.

Learn how to calculate the conditional probability of Y given X using the joint probability function p(x,y)=k(x²+y²) with values x=-1, 0, 1, 3 and y=-1, 2, 3. This example explores concepts of marginal and conditional probability, normalization, and joint distributions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation