Math Problem Statement

A continuación se presenta la distribución de probabilidad conjunta para las variables X y Y

f(x,y)=x+y24,para:x=1,2;y=0,1,2,3f(x,y)=x+y24,para:x=1,2;y=0,1,2,3

Calcule: P(x>y)P(x>y)

Recomendación: Escribir la respuesta en decimal, haciendo uso del punto, ej: 0.45 (considerar la respuesta con 4 decimales)

Solution

La función de probabilidad conjunta f(x,y)f(x, y) se define como:

f(x,y)=x+y24,parax=1,2yy=0,1,2,3.f(x, y) = \frac{x + y}{24}, \quad \text{para} \, x = 1, 2 \, \text{y} \, y = 0, 1, 2, 3.

Queremos calcular P(x>y)P(x > y), que representa la probabilidad de que xx sea mayor que yy. Para ello, seguimos los siguientes pasos:

  1. Identificar los pares donde x>yx > y: Dado que x{1,2}x \in \{1, 2\} y y{0,1,2,3}y \in \{0, 1, 2, 3\}, los pares (x,y)(x, y) en los que x>yx > y son:

    • Para x=1x = 1, yy debe ser menor que 1, es decir, (1,0)(1, 0).
    • Para x=2x = 2, yy debe ser menor que 2, es decir, (2,0)(2, 0) y (2,1)(2, 1).

    Por lo tanto, los pares que cumplen x>yx > y son: (1,0),(2,0),(2,1)(1, 0), (2, 0), (2, 1).

  2. Calcular la probabilidad para cada par usando la función de probabilidad conjunta f(x,y)f(x, y):

    • f(1,0)=1+024=124f(1, 0) = \frac{1 + 0}{24} = \frac{1}{24}
    • f(2,0)=2+024=224=112f(2, 0) = \frac{2 + 0}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}
    • f(2,1)=2+124=324=18f(2, 1) = \frac{2 + 1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}
  3. Sumar las probabilidades de los pares donde x>yx > y:

P(x>y)=f(1,0)+f(2,0)+f(2,1)=124+112+18P(x > y) = f(1, 0) + f(2, 0) + f(2, 1) = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8}

Para sumar estas fracciones, encontramos un denominador común (en este caso, 24):

P(x>y)=124+224+324=624=0.25P(x > y) = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{6}{24} = 0.25

Por lo tanto, la probabilidad P(x>y)P(x > y) es 0.2500.


¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

Preguntas relacionadas:

  1. ¿Cómo se calcula una función de probabilidad conjunta para diferentes distribuciones?
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  3. ¿Cómo se interpreta P(xy)P(x \leq y) en este contexto?
  4. ¿Cómo se calculan las probabilidades condicionales con esta función conjunta?
  5. ¿Cómo varía la respuesta si se modifica el dominio de xx y yy?

Tip: Es importante familiarizarse con el concepto de probabilidad conjunta, ya que es fundamental en el estudio de probabilidades para variables aleatorias múltiples.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability
Joint Probability Distribution
Inequalities

Formulas

f(x, y) = (x + y) / 24
P(x > y) = Σ f(x, y) for (x > y)

Theorems

Joint Probability Distribution

Suitable Grade Level

Undergraduate level - Probability and Statistics