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Resuelve el siguiente ejercicio utilizando la siguiente formula.

\text{Área} = \dfrac{1}{2} (\text{base}_1+\text{base}_2)(\text{altura})

**Encuentra el porcentaje del área bajo la curva de densidad donde \[x\] es menor que \[2\].**

Para resolver el ejercicio y encontrar el porcentaje del área bajo la curva de densidad donde \( x \) es menor que \( 2 \), podemos seguir estos pasos:

1. **Identificar las secciones de la curva**: La gráfica se divide en tres partes principales: 
   - De \( x = 0 \) a \( x = 1 \), la curva es una línea recta que sube desde \( y = 0 \) hasta \( y = 0.2 \).
   - De \( x = 1 \) a \( x = 5 \), la curva es una línea horizontal en \( y = 0.2 \).
   - De \( x = 5 \) a \( x = 6 \), la curva baja nuevamente a \( y = 0 \).

2. **Calcular el área bajo la curva para \( x < 2 \)**:
   - **Área desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \)**: Es un triángulo con base \( 1 \) y altura \( 0.2 \). El área de un triángulo se calcula como:
     \[
     \text{Área}_1 = \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 0.2 = 0.1
     \]
   - **Área desde \( x = 1 \) hasta \( x = 2 \)**: Es un rectángulo con base \( 1 \) y altura \( 0.2 \). El área de un rectángulo es:
     \[
     \text{Área}_2 = \text{base} \times \text{altura} = 1 \times 0.2 = 0.2
     \]
   - **Área total para \( x < 2 \)**:
     \[
     \text{Área total} = \text{Área}_1 + \text{Área}_2 = 0.1 + 0.2 = 0.3
     \]

3. **Calcular el área total bajo la curva**:
   - **Área desde \( x = 2 \) hasta \( x = 5 \)**: Es un rectángulo con base \( 3 \) y altura \( 0.2 \):
     \[
     \text{Área}_3 = 3 \times 0.2 = 0.6
     \]
   - **Área desde \( x = 5 \) hasta \( x = 6 \)**: Es un triángulo con base \( 1 \) y altura \( 0.2 \):
     \[
     \text{Área}_4 = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 0.2 = 0.1
     \]
   - **Área total bajo la curva**:
     \[
     \text{Área total bajo la curva} = \text{Área}_1 + \text{Área}_2 + \text{Área}_3 + \text{Área}_4 = 0.1 + 0.2 + 0.6 + 0.1 = 1
     \]

4. **Calcular el porcentaje del área donde \( x < 2 \)**:
   - Como el área total bajo la curva es 1, el porcentaje del área donde \( x < 2 \) es simplemente:
     \[
     \text{Porcentaje del área} = \frac{0.3}{1} \times 100\% = 30\%
     \]

Por lo tanto, el porcentaje del área bajo la curva de densidad donde \( x \) es menor que 2 es **30%**.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 8 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el área bajo una curva en diferentes secciones?
2. ¿Qué representa el área bajo una curva de densidad?
3. ¿Cómo afecta la forma de la curva al cálculo del área?
4. ¿Cómo se interpreta el porcentaje del área bajo la curva en un contexto de probabilidad?
5. ¿Qué cambios en la fórmula ocurren si la curva es no lineal?
6. ¿Cómo se podría calcular el área bajo la curva usando integración?
7. ¿Por qué el área total bajo la curva en una función de densidad es igual a 1?
8. ¿Qué otros métodos existen para calcular áreas bajo curvas en diferentes contextos?

**Tip**: Es útil recordar que el área bajo una curva de densidad en un intervalo específico representa la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de ese intervalo.

Learn how to calculate the percentage of area under a density curve where x is less than 2 using integral calculus. This problem involves finding the area under a curve segment defined by specific x values and understanding the concept of cumulative area under a density curve. Suitable for college-level students and those studying integral calculus.

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