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Resuelve el siguiente ejercicio utilizando la siguiente formula.

\text{Área} = \dfrac{1}{2} (\text{base}_1+\text{base}_2)(\text{altura})

**Encuentra el porcentaje del área bajo la curva de densidad donde \[x\] es menor que \[3\].**

Para resolver este ejercicio, vamos a determinar el área bajo la curva de densidad para \( x < 3 \) utilizando la fórmula del área de un trapecio:

\[
\text{Área} = \dfrac{1}{2} (\text{base}_1+\text{base}_2)(\text{altura})
\]

**Paso 1: Identificar las bases y la altura.**

Observando la gráfica, el área bajo la curva para \( x < 3 \) corresponde a la región entre \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

- **Base 1** (\( \text{base}_1 \)): es la longitud del segmento en \( y \) cuando \( x = 1 \). En la gráfica, se observa que \( y = 0.5 \) en \( x = 1 \).
- **Base 2** (\( \text{base}_2 \)): es la longitud del segmento en \( y \) cuando \( x = 3 \). Aquí, \( y = 0.25 \).
- **Altura** (\( h \)): es la distancia horizontal entre \( x = 1 \) y \( x = 3 \), por lo que \( h = 3 - 1 = 2 \).

**Paso 2: Aplicar la fórmula del área.**

Sustituyendo los valores en la fórmula:

\[
\text{Área} = \dfrac{1}{2} \times (0.5 + 0.25) \times 2 = \dfrac{1}{2} \times 0.75 \times 2 = 0.75
\]

**Paso 3: Determinar el porcentaje del área total.**

Ahora necesitamos calcular el porcentaje de esta área respecto al área total bajo la curva.

**Área total:**

- Base del triángulo (\( b \)) = 4 (desde \( x = 1 \) hasta \( x = 5 \))
- Altura del triángulo (\( h \)) = 0.5 (máximo valor de \( y \))

El área total del triángulo:

\[
\text{Área total} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 0.5 = 1
\]

**Porcentaje del área bajo la curva donde \( x < 3 \):**

\[
\text{Porcentaje} = \dfrac{\text{Área para } x < 3}{\text{Área total}} \times 100\% = \dfrac{0.75}{1} \times 100\% = 75\%
\]

**Conclusión:** El porcentaje del área bajo la curva de densidad donde \( x < 3 \) es 75%.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo cambia el área si \( x = 3 \) se incluye en el intervalo?
2. ¿Qué sucedería si la curva fuese más compleja, como una parábola?
3. ¿Cómo se utiliza esta fórmula en otras áreas de las matemáticas?
4. ¿Qué representa el área bajo la curva en un contexto de probabilidad?
5. ¿Cómo encontrarías el área si la curva no es una línea recta?
6. ¿Cuál es la relación entre el área bajo la curva y la función de distribución acumulativa?
7. ¿Qué significaría un área mayor a 1 en este contexto?
8. ¿Cómo afectaría el resultado si se modifica la escala del gráfico?

**Tip:** Al calcular áreas bajo la curva, es útil dibujar el gráfico e identificar visualmente las bases y la altura antes de aplicar las fórmulas, para asegurar precisión en los cálculos.

Learn how to calculate the percentage of area under a density curve where x is less than 3 using integral calculus and the area of a trapezoid formula. This problem involves finding the area under a specific interval of a density curve and determining its percentage relative to the total area.

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