反正切函数 $\arctan(x)$ 的导数可以通过隐函数求导法来求得。我们从以下关系开始：

$y = \arctan(x)$

这意味着：

$x = \tan(y)$

我们需要求 $\frac{d}{dx} \arctan(x)$。通过对 $x = \tan(y)$ 两边对 $x$ 求导，我们得到：

$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan(y)$

左边直接为1，右边使用链式法则：

$1 = \sec^2(y) \frac{dy}{dx}$

所以：

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$

我们还知道：

$\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y)$

由于 $\tan(y) = x$，因此：

$\sec^2(y) = 1 + x^2$

将其代入导数公式中：

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

因此，反正切函数的导数为：

$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

详细推导步骤：

1. 设定隐函数： 设 $y = \arctan(x)$，即 $x = \tan(y)$。

2. 对两边求导： $\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan(y)$ $1 = \sec^2(y) \frac{dy}{dx}$

3. 求解 $\frac{dy}{dx}$： $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$

4. 用 $\tan(y) = x$ 替换 $\sec^2(y)$： $\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y) = 1 + x^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

5. 最终结果： $\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

请问你需要更详细的解释或有其他问题吗？你可以问以下问题：

1. 如何求其他反三角函数的导数？
2. 反三角函数的应用有哪些？
3. 如何使用隐函数求导法解决其他问题？
4. 反三角函数在物理中的应用是什么？
5. 导数在数学分析中的重要性有哪些？

提示： 反三角函数的导数在许多数学和物理问题中都非常有用，特别是在涉及角度和斜率的计算中。