反正切函数 \(\arctan(x)\) 的导数可以通过隐函数求导法来求得。我们从以下关系开始：

\[
y = \arctan(x)
\]

这意味着：

\[
x = \tan(y)
\]

我们需要求 \(\frac{d}{dx} \arctan(x)\)。通过对 \(x = \tan(y)\) 两边对 \(x\) 求导，我们得到：

\[
\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan(y)
\]

左边直接为1，右边使用链式法则：

\[
1 = \sec^2(y) \frac{dy}{dx}
\]

所以：

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}
\]

我们还知道：

\[
\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y)
\]

由于 \(\tan(y) = x\)，因此：

\[
\sec^2(y) = 1 + x^2
\]

将其代入导数公式中：

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
\]

因此，反正切函数的导数为：

\[
\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}
\]

### 详细推导步骤：

1. **设定隐函数**：
   设 \( y = \arctan(x) \)，即 \( x = \tan(y) \)。

2. **对两边求导**：
   \[
   \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan(y)
   \]
   \[
   1 = \sec^2(y) \frac{dy}{dx}
   \]

3. **求解 \(\frac{dy}{dx}\)**：
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}
   \]

4. **用 \(\tan(y) = x\) 替换 \(\sec^2(y)\)**：
   \[
   \sec^2(y) = 1 + \tan^2(y) = 1 + x^2
   \]
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
   \]

5. **最终结果**：
   \[
   \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}
   \]

请问你需要更详细的解释或有其他问题吗？你可以问以下问题：

1. 如何求其他反三角函数的导数？
2. 反三角函数的应用有哪些？
3. 如何使用隐函数求导法解决其他问题？
4. 反三角函数在物理中的应用是什么？
5. 导数在数学分析中的重要性有哪些？

**提示：** 反三角函数的导数在许多数学和物理问题中都非常有用，特别是在涉及角度和斜率的计算中。

Explore the derivative of the arctangent function (arctan(x)) with a comprehensive step-by-step explanation. This problem covers calculus concepts, including derivatives of inverse trigonometric functions and the chain rule. Suitable for advanced high school and college students.

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