Для того чтобы перейти от неравенства треугольника вида:

$|x - y| \leq |x - z| + |z - y|$

к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел:

$|x + y| \leq |x| + |y|,$

можно воспользоваться следующим трюком: выразим $x$, $y$ и $z$ через новые переменные так, чтобы неравенство стало похоже на нужную форму.

1. Положим $z = 0$ в исходное неравенство:

$|x - y| \leq |x - 0| + |0 - y|.$

Это упрощает выражение до:

$|x - y| \leq |x| + |y|.$

Теперь воспользуемся свойством абсолютной величины: $|x - y| = |-(y - x)| = |x + (-y)| = |x + y|$, потому что $-y$ — это просто другое число, противоположное $y$.

Таким образом, неравенство становится:

$|x + y| \leq |x| + |y|,$

что и есть классическая форма неравенства треугольника для вещественных чисел.

Объяснение:

1. Мы выбрали $z = 0$, так как в классическом неравенстве треугольника рассматриваются два числа, а в исходном выражении участвуют три.
2. Это позволило свести трёхчленное неравенство к двум числам, тем самым получив стандартное неравенство треугольника для суммы двух вещественных чисел.

Хотите больше подробностей или есть вопросы?

---

Связанные вопросы:

1. Как использовать неравенство треугольника в анализе функций?
2. Какие другие методы доказательства неравенства треугольника существуют?
3. Как неравенство треугольника применяется в метрических пространствах?
4. Почему абсолютная величина удовлетворяет свойствам метрики?
5. В чём важность неравенства треугольника для изучения расстояний в геометрии?

Совет: Неравенство треугольника — основа векторов и норм, поэтому полезно практиковаться на различных типах задач, чтобы лучше понять его применение.