Как перейти от неравенства треугольника вида |x-y|<=|x-z|+|z-y| к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел вида |x+y|<=|x|+|y|

Для того чтобы перейти от неравенства треугольника вида:

\[
|x - y| \leq |x - z| + |z - y|
\]

к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел:

\[
|x + y| \leq |x| + |y|,
\]

можно воспользоваться следующим трюком: выразим \(x\), \(y\) и \(z\) через новые переменные так, чтобы неравенство стало похоже на нужную форму.

1. Положим \(z = 0\) в исходное неравенство:

\[
|x - y| \leq |x - 0| + |0 - y|.
\]

Это упрощает выражение до:

\[
|x - y| \leq |x| + |y|.
\]

Теперь воспользуемся свойством абсолютной величины: \( |x - y| = |-(y - x)| = |x + (-y)| = |x + y| \), потому что \(-y\) — это просто другое число, противоположное \(y\).

Таким образом, неравенство становится:

\[
|x + y| \leq |x| + |y|,
\]

что и есть классическая форма неравенства треугольника для вещественных чисел.

### Объяснение:
1. Мы выбрали \(z = 0\), так как в классическом неравенстве треугольника рассматриваются два числа, а в исходном выражении участвуют три.
2. Это позволило свести трёхчленное неравенство к двум числам, тем самым получив стандартное неравенство треугольника для суммы двух вещественных чисел.

### Хотите больше подробностей или есть вопросы?

---

**Связанные вопросы:**

1. Как использовать неравенство треугольника в анализе функций?
2. Какие другие методы доказательства неравенства треугольника существуют?
3. Как неравенство треугольника применяется в метрических пространствах?
4. Почему абсолютная величина удовлетворяет свойствам метрики?
5. В чём важность неравенства треугольника для изучения расстояний в геометрии?

**Совет:** Неравенство треугольника — основа векторов и норм, поэтому полезно практиковаться на различных типах задач, чтобы лучше понять его применение.

Как перейти от неравенства треугольника вида |x-y|<=|x-z|+|z-y| к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел вида |x+y|<=|x|+|y|?

Learn how to transition from the inequality |x - y| ≤ |x - z| + |z - y| to the classic triangle inequality for real numbers |x + y| ≤ |x| + |y|. This explanation covers key algebraic concepts, including the absolute value properties and the triangle inequality theorem. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation