Как перейти от неравенства треугольника вида |x-y|=|x-z|+|z-y| к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел вида |x+y|<=|x|+|y|

Для перехода от данного неравенства вида \( |x - y| = |x - z| + |z - y| \) к классическому неравенству треугольника для вещественных чисел \( |x + y| \leq |x| + |y| \), полезно рассмотреть следующую стратегию:

1. **Интерпретация исходного неравенства**: Исходное выражение является равенством, которое отражает, что для произвольных точек \(x\), \(y\) и \(z\) в одномерном пространстве длина отрезка между \(x\) и \(y\) равна сумме длин отрезков \(x\) до \(z\) и \(z\) до \(y\). Это возможно только в случае, когда \(z\) лежит между \(x\) и \(y\) (или совпадает с одной из этих точек). Таким образом, это утверждение можно рассматривать как специальный случай, когда \(z\) находится на прямой между \(x\) и \(y\), что дает возможность разложения расстояния на промежуточные отрезки.

2. **Использование свойства абсолютной величины**: Неравенство треугольника для суммы векторов \(x\) и \(y\) в вещественных числах напрямую вытекает из определения абсолютной величины как расстояния на числовой оси. Смысл неравенства \( |x + y| \leq |x| + |y| \) заключается в том, что длина суммы двух отрезков (или векторов) не может превышать сумму их длин.

3. **Переход от равенства к неравенству**: Из равенства \( |x - y| = |x - z| + |z - y| \) можно извлечь неравенство, если учесть, что данное равенство выполняется при условии, что \(z\) находится строго между \(x\) и \(y\). В общем же случае, при произвольном выборе \(z\), мы можем записать неравенство \( |x - y| \leq |x - z| + |z - y| \), которое является классическим выражением неравенства треугольника для расстояний. Это и является шагом

Explore the step-by-step transition from the absolute value form of the triangle inequality |x-y| = |x-z| + |z-y| to the classical real number inequality |x + y| <= |x| + |y|. This problem delves into absolute values and inequalities, demonstrating how the triangle inequality theorem applies to real numbers. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation