任意の実数 $a$ と $b$ に対して、次の不等式が成り立つことを示します。

$|a + b| \leq |a| + |b|$

この不等式は三角不等式 (Triangle Inequality) と呼ばれ、絶対値の基本的な性質の一つです。以下にその証明を示します。

証明

絶対値の定義に基づいて、いくつかの基本的な性質を利用します。

1. 任意の実数 $x$ に対して、次の不等式が成り立ちます： $-|x| \leq x \leq |x|$

2. $a$ と $b$ に対して、この不等式を適用すると： $-|a| \leq a \leq |a|$ $-|b| \leq b \leq |b|$

3. これらの不等式を加算します： $-|a| - |b| \leq a + b \leq |a| + |b|$

   この結果、次のようにまとめられます： $-( |a| + |b| ) \leq a + b \leq |a| + |b|$

4. これにより、$a + b$ の絶対値は次のようになります： $|a + b| \leq |a| + |b|$

以上で、任意の実数 $a$ と $b$ に対して三角不等式が成り立つことを示しました。

補足説明

この不等式はベクトルや複素数のノルムに対しても成り立ち、幾何学的な解釈としては、三角形の任意の2辺の長さの和が他の1辺の長さ以上になるという性質を表しています。

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ご質問や詳細な説明が必要ですか？以下の質問も考えてみてください。

1. 三角不等式の具体例を教えてください。
2. ベクトルにおける三角不等式について説明してください。
3. 絶対値の定義について詳しく教えてください。
4. 他の基本的な不等式について知りたいです。
5. 三角不等式の応用例を教えてください。

Tip:

三角不等式は多くの数学的概念の基礎となる重要な性質です。特に解析学や線形代数学で頻繁に利用されるため、しっかり理解しておくことが重要です。