任意の実数 a と b に対して、下記が成り立つことを示せ。 (1) |a + b| ≤ |a| + |b|

任意の実数 \(a\) と \(b\) に対して、次の不等式が成り立つことを示します。

\[ |a + b| \leq |a| + |b| \]

この不等式は三角不等式 (Triangle Inequality) と呼ばれ、絶対値の基本的な性質の一つです。以下にその証明を示します。

### 証明

絶対値の定義に基づいて、いくつかの基本的な性質を利用します。

1. 任意の実数 \(x\) に対して、次の不等式が成り立ちます：
   \[ -|x| \leq x \leq |x| \]

2. \(a\) と \(b\) に対して、この不等式を適用すると：
   \[ -|a| \leq a \leq |a| \]
   \[ -|b| \leq b \leq |b| \]

3. これらの不等式を加算します：
   \[ -|a| - |b| \leq a + b \leq |a| + |b| \]

   この結果、次のようにまとめられます：
   \[ -( |a| + |b| ) \leq a + b \leq |a| + |b| \]

4. これにより、\(a + b\) の絶対値は次のようになります：
   \[ |a + b| \leq |a| + |b| \]

以上で、任意の実数 \(a\) と \(b\) に対して三角不等式が成り立つことを示しました。

### 補足説明
この不等式はベクトルや複素数のノルムに対しても成り立ち、幾何学的な解釈としては、三角形の任意の2辺の長さの和が他の1辺の長さ以上になるという性質を表しています。

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ご質問や詳細な説明が必要ですか？以下の質問も考えてみてください。

1. 三角不等式の具体例を教えてください。
2. ベクトルにおける三角不等式について説明してください。
3. 絶対値の定義について詳しく教えてください。
4. 他の基本的な不等式について知りたいです。
5. 三角不等式の応用例を教えてください。

### Tip:
三角不等式は多くの数学的概念の基礎となる重要な性質です。特に解析学や線形代数学で頻繁に利用されるため、しっかり理解しておくことが重要です。

Learn how to prove the triangle inequality |a + b| ≤ |a| + |b| for any real numbers a and b. This theorem is fundamental in understanding absolute values and basic inequalities. Suitable for high school students.

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