Pour démontrer que \( \text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \) (où "abs" signifie la valeur absolue), nous allons utiliser l'inégalité triangulaire.

### Démonstration

1. **Rappel de la définition de la valeur absolue**: 
   - Pour tout nombre réel \( x \), \( \text{abs}(x) = x \) si \( x \geq 0 \), et \( \text{abs}(x) = -x \) si \( x < 0 \).

2. **Inégalité triangulaire**:
   - L'inégalité triangulaire stipule que pour tous nombres réels \( a \) et \( b \), on a \( \text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \).

3. **Preuve**:
   - Supposons que \( a \) et \( b \) soient deux nombres réels quelconques.
   - Considérons les quatre cas possibles basés sur les signes de \( a \) et \( b \):

     a. **Cas 1**: Si \( a \geq 0 \) et \( b \geq 0 \), alors \( \text{abs}(a + b) = a + b \). De plus, \( \text{abs}(a) = a \) et \( \text{abs}(b) = b \). Donc, 
     \[
     \text{abs}(a + b) = a + b = \text{abs}(a) + \text{abs}(b).
     \]

     b. **Cas 2**: Si \( a \geq 0 \) et \( b < 0 \), alors \( \text{abs}(b) = -b \). Nous avons deux sous-cas :
        - Si \( a + b \geq 0 \), alors \( \text{abs}(a + b) = a + b \) et \( \text{abs}(a + b) = a + b \leq a - b = \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \).
        - Si \( a + b < 0 \), alors \( \text{abs}(a + b) = -(a + b) \) et \( \text{abs}(a + b) = -a - b = \text{abs}(-a - b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \).

     c. **Cas 3**: Si \( a < 0 \) et \( b \geq 0 \), cet argument est symétrique à celui de Cas 2.

     d. **Cas 4**: Si \( a < 0 \) et \( b < 0 \), alors \( \text{abs}(a + b) = -(a + b) = -a - b = \text{abs}(-a - b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \).

   - Dans tous les cas, l'inégalité \( \text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \) est satisfaite.

### Conclusion

L'inégalité triangulaire est donc démontrée : \( \text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b) \).

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

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Voici cinq questions supplémentaires que vous pourriez explorer :

1. Comment prouver l'inégalité triangulaire pour des vecteurs dans un espace vectoriel ?
2. Comment appliquer l'inégalité triangulaire dans un problème géométrique ?
3. Quelle est la signification géométrique de l'inégalité triangulaire ?
4. Comment la valeur absolue est-elle définie dans les espaces complexes ?
5. Quelles autres inégalités mathématiques sont liées à l'inégalité triangulaire ?

**Astuce** : L'inégalité triangulaire est très utile en analyse, surtout lorsqu'on travaille avec des séries ou des intégrales. Elle aide à établir des bornes supérieures dans divers contextes.

Explore the proof of the triangle inequality, which shows that the absolute value of the sum of two real numbers is less than or equal to the sum of their absolute values. This step-by-step explanation covers key concepts such as absolute value and inequalities. Suitable for high school students in Grades 9-12.

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