Pour démontrer que $\text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$ (où "abs" signifie la valeur absolue), nous allons utiliser l'inégalité triangulaire.

Démonstration

1. Rappel de la définition de la valeur absolue:

   • Pour tout nombre réel $x$, $\text{abs}(x) = x$ si $x \geq 0$, et $\text{abs}(x) = -x$ si $x < 0$.

2. Inégalité triangulaire:

   • L'inégalité triangulaire stipule que pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a $\text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$.

3. Preuve:

   • Supposons que $a$ et $b$ soient deux nombres réels quelconques.

   • Considérons les quatre cas possibles basés sur les signes de $a$ et $b$:

     a. Cas 1: Si $a \geq 0$ et $b \geq 0$, alors $\text{abs}(a + b) = a + b$. De plus, $\text{abs}(a) = a$ et $\text{abs}(b) = b$. Donc, $\text{abs}(a + b) = a + b = \text{abs}(a) + \text{abs}(b).$

     b. Cas 2: Si $a \geq 0$ et $b < 0$, alors $\text{abs}(b) = -b$. Nous avons deux sous-cas :

     • Si $a + b \geq 0$, alors $\text{abs}(a + b) = a + b$ et $\text{abs}(a + b) = a + b \leq a - b = \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$.
     • Si $a + b < 0$, alors $\text{abs}(a + b) = -(a + b)$ et $\text{abs}(a + b) = -a - b = \text{abs}(-a - b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$.

     c. Cas 3: Si $a < 0$ et $b \geq 0$, cet argument est symétrique à celui de Cas 2.

     d. Cas 4: Si $a < 0$ et $b < 0$, alors $\text{abs}(a + b) = -(a + b) = -a - b = \text{abs}(-a - b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$.

   • Dans tous les cas, l'inégalité $\text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$ est satisfaite.

Conclusion

L'inégalité triangulaire est donc démontrée : $\text{abs}(a + b) \leq \text{abs}(a) + \text{abs}(b)$.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

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Voici cinq questions supplémentaires que vous pourriez explorer :

1. Comment prouver l'inégalité triangulaire pour des vecteurs dans un espace vectoriel ?
2. Comment appliquer l'inégalité triangulaire dans un problème géométrique ?
3. Quelle est la signification géométrique de l'inégalité triangulaire ?
4. Comment la valeur absolue est-elle définie dans les espaces complexes ?
5. Quelles autres inégalités mathématiques sont liées à l'inégalité triangulaire ?

Astuce : L'inégalité triangulaire est très utile en analyse, surtout lorsqu'on travaille avec des séries ou des intégrales. Elle aide à établir des bornes supérieures dans divers contextes.