Tunjukkan bahwa relasi habis membagi pada ℕ bersifat transitif! 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 habis membagi 𝑏}

Untuk menunjukkan bahwa relasi "habis membagi" pada himpunan bilangan asli \( \mathbb{N} \) bersifat transitif, kita perlu mendefinisikan apa yang dimaksud dengan relasi "habis membagi" terlebih dahulu, kemudian membuktikan sifat transitif dari relasi tersebut.

### Definisi Relasi "Habis Membagi" (\( a \mid b \))
Relasi \( R = \{ (a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a \mid b \} \) berarti bahwa \( a \) habis membagi \( b \), atau dengan kata lain, ada suatu bilangan \( k \in \mathbb{N} \) sedemikian sehingga \( b = a \cdot k \).

### Sifat Transitif
Relasi \( R \) bersifat **transitif** jika berlaku aturan berikut: 
Jika \( a \mid b \) dan \( b \mid c \), maka \( a \mid c \).

### Pembuktian
Misalkan \( a, b, c \in \mathbb{N} \) sedemikian sehingga:

1. \( a \mid b \), artinya ada bilangan \( k_1 \in \mathbb{N} \) sehingga \( b = a \cdot k_1 \).
2. \( b \mid c \), artinya ada bilangan \( k_2 \in \mathbb{N} \) sehingga \( c = b \cdot k_2 \).

Sekarang kita substitusi nilai \( b \) dari persamaan (1) ke dalam persamaan (2):

\[
c = (a \cdot k_1) \cdot k_2 = a \cdot (k_1 \cdot k_2)
\]

Karena \( k_1 \cdot k_2 \in \mathbb{N} \), maka dapat disimpulkan bahwa \( a \mid c \).

Dengan demikian, telah terbukti bahwa jika \( a \mid b \) dan \( b \mid c \), maka \( a \mid c \), yang berarti relasi "habis membagi" bersifat transitif.

### Kesimpulan
Relasi habis membagi pada \( \mathbb{N} \) adalah relasi yang bersifat transitif.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa contoh lain dari relasi yang bersifat transitif?
2. Bagaimana dengan relasi "kurang dari" (\( < \))? Apakah itu juga bersifat transitif?
3. Apakah relasi "sama dengan" (\( = \)) bersifat transitif?
4. Bagaimana sifat refleksif dari relasi habis membagi?
5. Apakah relasi habis membagi bersifat simetris?

**Tip**: Dalam teori relasi, penting untuk memahami tiga sifat dasar: refleksif, simetris, dan transitif untuk menganalisis karakteristik relasi tertentu.

Tunjukkan bahwa relasi habis membagi pada himpunan bilangan asli bersifat transitif. Artikel ini menjelaskan konsep divisibilitas, sifat transitif, dan pembuktian formal menggunakan relasi a | b. Cocok untuk siswa SMA dan mahasiswa tingkat awal.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation