Misalkan R adalah relasi pada himpunan pasangan bilangan bulat positif yang berurutan sehingga ((a, b), (c, d)) ∈ R jika dan hanya jika adbe. Buktikan bahwa R adalah relasi ekuivalensi

Untuk membuktikan bahwa \( R \) adalah relasi ekuivalensi, kita harus menunjukkan bahwa \( R \) memenuhi tiga sifat utama dari relasi ekuivalensi, yaitu:

1. **Refleksifitas**: Setiap elemen dalam himpunan berelasi dengan dirinya sendiri.
2. **Simetrisitas**: Jika \( (x, y) \in R \), maka \( (y, x) \in R \).
3. **Transitivitas**: Jika \( (x, y) \in R \) dan \( (y, z) \in R \), maka \( (x, z) \in R \).

Mari kita periksa setiap sifat satu per satu untuk relasi \( R \).

### 1. Refleksifitas
Kita ingin menunjukkan bahwa untuk setiap pasangan bilangan bulat positif berurutan \( (a, b) \), kita memiliki \( ((a, b), (a, b)) \in R \). Berdasarkan definisi relasi \( R \), \( ((a, b), (a, b)) \in R \) jika dan hanya jika \( a \cdot d = b \cdot e \). Dalam hal ini, \( a = c \) dan \( b = d \), sehingga syarat relasinya menjadi:

\[
a \cdot b = a \cdot b
\]

Karena ini selalu benar untuk setiap pasangan \( (a, b) \), maka relasi ini **refleksif**.

### 2. Simetrisitas
Kita perlu menunjukkan bahwa jika \( ((a, b), (c, d)) \in R \), maka \( ((c, d), (a, b)) \in R \). Berdasarkan definisi relasi, \( ((a, b), (c, d)) \in R \) berarti \( a \cdot d = b \cdot c \). Untuk simetrisitas, kita perlu membuktikan bahwa jika \( a \cdot d = b \cdot c \), maka \( c \cdot b = d \cdot a \).

Karena persamaan \( a \cdot d = b \cdot c \) identik dengan \( c \cdot b = d \cdot a \), maka relasi ini **simetris**.

### 3. Transitivitas
Kita perlu menunjukkan bahwa jika \( ((a, b), (c, d)) \in R \) dan \( ((c, d), (e, f)) \in R \), maka \( ((a, b), (e, f)) \in R \). Berdasarkan definisi relasi, kita memiliki:

- \( ((a, b), (c, d)) \in R \) berarti \( a \cdot d = b \cdot c \).
- \( ((c, d), (e, f)) \in R \) berarti \( c \cdot f = d \cdot e \).

Kita harus menunjukkan bahwa \( ((a, b), (e, f)) \in R \), yaitu bahwa \( a \cdot f = b \cdot e \).

Dari dua persamaan \( a \cdot d = b \cdot c \) dan \( c \cdot f = d \cdot e \), kita dapat mengalikan kedua persamaan ini:

\[
(a \cdot d) \cdot (c \cdot f) = (b \cdot c) \cdot (d \cdot e)
\]

Sehingga:

\[
a \cdot f = b \cdot e
\]

Jadi, relasi ini **transitif**.

### Kesimpulan
Karena relasi \( R \) memenuhi sifat refleksifitas, simetrisitas, dan transitivitas, maka dapat disimpulkan bahwa \( R \) adalah **relasi ekuivalensi**.

Apakah Anda memiliki pertanyaan atau membutuhkan penjelasan lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan yang terkait:
1. Apa definisi relasi ekuivalensi dalam konteks himpunan?
2. Mengapa sifat refleksif penting untuk relasi ekuivalensi?
3. Bagaimana cara menentukan relasi ekuivalensi pada himpunan yang lebih kompleks?
4. Bagaimana relasi ekuivalensi berbeda dari relasi yang hanya simetris atau transitif?
5. Bisakah kita menemukan contoh konkret dari relasi ekuivalensi lain?

**Tip**: Ketika membuktikan relasi ekuivalensi, pastikan untuk selalu memeriksa ketiga sifat utama: refleksif, simetris, dan transitif.

Misalkan R adalah relasi pada himpunan pasangan bilangan bulat positif yang berurutan sehingga ((a, b), (c, d)) ∈ R jika dan hanya jika ad=bc. Buktikan bahwa R adalah relasi ekuivalensi.

Buktikan bahwa relasi R pada himpunan pasangan bilangan bulat positif berurutan merupakan relasi ekuivalensi. Pelajari konsep refleksivitas, simetrisitas, dan transitivitas serta cara menerapkan sifat-sifat ini pada relasi bilangan bulat dengan formula ad = bc. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation