Tunjukkan dengan induksi matematika, bahwa untuk setiap bilangan asli 𝑛, 3^2𝑛 − 2𝑛 + 1 adalah bilangan yang habis dibagi 2

Kita akan membuktikan dengan **induksi matematika** bahwa untuk setiap bilangan asli \( n \), ekspresi \( 3^{2n} - 2n + 1 \) adalah bilangan yang habis dibagi 2, yaitu \( 3^{2n} - 2n + 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2) \).

### Langkah 1: Basis Induksi
Kita mulai dengan memeriksa untuk \( n = 1 \).

\[
3^{2(1)} - 2(1) + 1 = 3^2 - 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 8
\]

Karena \( 8 \) habis dibagi 2, maka klaim benar untuk \( n = 1 \).

### Langkah 2: Hipotesis Induksi
Misalkan klaim benar untuk \( n = k \), yaitu:

\[
3^{2k} - 2k + 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2)
\]

Artinya, kita mengasumsikan bahwa \( 3^{2k} - 2k + 1 \) habis dibagi 2 untuk \( n = k \).

### Langkah 3: Langkah Induksi
Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa klaim juga benar untuk \( n = k + 1 \). Kita periksa ekspresi untuk \( n = k + 1 \):

\[
3^{2(k+1)} - 2(k+1) + 1 = 3^{2k+2} - 2(k+1) + 1
\]

Ekspresi ini bisa kita uraikan sebagai:

\[
3^{2k+2} - 2k - 2 + 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 2k - 2 + 1
\]

Sekarang kita cek apakah ekspresi ini habis dibagi 2. Berdasarkan hipotesis induksi, kita tahu bahwa \( 3^{2k} - 2k + 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2) \). Mari kita tinjau bagian demi bagian:

- \( 9 \cdot 3^{2k} = (8 + 1) \cdot 3^{2k} = 8 \cdot 3^{2k} + 3^{2k} \equiv 0 \cdot 3^{2k} + 3^{2k} \equiv 3^{2k} \ (\text{mod}\ 2) \)
- Jadi, \( 9 \cdot 3^{2k} \equiv 3^{2k} \ (\text{mod}\ 2) \)

Dari hipotesis induksi, kita punya \( 3^{2k} - 2k + 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2) \), sehingga:

\[
9 \cdot 3^{2k} - 2k - 2 + 1 \equiv (3^{2k} - 2k + 1) - 2 \equiv 0 - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2)
\]

Jadi, klaim juga benar untuk \( n = k + 1 \).

### Kesimpulan:
Berdasarkan basis induksi dan langkah induksi, kita telah membuktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan asli \( n \), \( 3^{2n} - 2n + 1 \) adalah bilangan yang habis dibagi 2.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 soal terkait yang dapat membantu pemahaman Anda:
1. Buktikan bahwa \( 4^n - 2n \) habis dibagi 2 untuk semua \( n \).
2. Apakah \( 3^{2n} - n + 1 \) habis dibagi 2 untuk setiap \( n \)?
3. Buktikan bahwa \( 2^n + n^2 - 1 \) habis dibagi 2 untuk semua bilangan asli \( n \).
4. Apakah \( 3^{n} - n + 2 \) habis dibagi 3 untuk setiap \( n \)?
5. Apakah \( 5^{2n} - 4n + 3 \) habis dibagi 2 untuk setiap \( n \)?

**Tip**: Ketika menggunakan induksi, pastikan setiap langkah teruji dengan benar dan bahwa klaim untuk \( n = k + 1 \) benar-benar bergantung pada hipotesis induksi untuk \( n = k \).

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan asli n, ekspresi 3^2n - 2n + 1 habis dibagi 2. Penjelasan langkah demi langkah yang mencakup konsep induksi matematika dan aritmetika modulo. Cocok untuk siswa SMA kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation