He encontrado un posible error cuando distribuyes. El error resuelto quedaria  \int_{-2}^{2} \left[ -y + i*\sqrt{4 - y^2} + \frac{y^2*i}{\sqrt{4 - y^2}} + y \right] dy . Empieza desde este error para ver como termina

Tienes razón, cometí un error al distribuir los términos en la integral. Vamos a corregirlo y continuar desde ahí.

La integral original es:
\[ \int_{-2}^{2} \left( \sqrt{4 - y^2} - iy \right) \left( \frac{-y}{\sqrt{4 - y^2}} + i \right) dy \]

Distribuimos los términos correctamente:
\[ \int_{-2}^{2} \left( \sqrt{4 - y^2} \cdot \frac{-y}{\sqrt{4 - y^2}} + \sqrt{4 - y^2} \cdot i - iy \cdot \frac{-y}{\sqrt{4 - y^2}} - iy \cdot i \right) dy \]

\[ \int_{-2}^{2} \left( -y + i\sqrt{4 - y^2} + \frac{iy^2}{\sqrt{4 - y^2}} - y \right) dy \]

\[ \int_{-2}^{2} \left( -2y + i\sqrt{4 - y^2} + \frac{iy^2}{\sqrt{4 - y^2}} \right) dy \]

Ahora dividimos la integral en tres partes:
\[ \int_{-2}^{2} -2y \, dy + \int_{-2}^{2} i\sqrt{4 - y^2} \, dy + \int_{-2}^{2} \frac{iy^2}{\sqrt{4 - y^2}} \, dy \]

1. \( \int_{-2}^{2} -2y \, dy \):
\[ \int_{-2}^{2} -2y \, dy = -2 \int_{-2}^{2} y \, dy = -2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-2}^{2} = -2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} \right) = -2(2 - 2) = 0 \]

2. \( \int_{-2}^{2} i\sqrt{4 - y^2} \, dy \):
Usamos la sustitución \( y = 2 \sin t \):
\[ dy = 2 \cos t \, dt \]
\[ y = -2 \rightarrow t = -\frac{\pi}{2}, \quad y = 2 \rightarrow t = \frac{\pi}{2} \]
\[ i \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - y^2} \, dy = i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} \cdot 2 \cos t \, dt \]
\[ = 2i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{4 (1 - \sin^2 t)} \cos t \, dt = 2i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \cos^2 t \, dt \]
\[ = 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt \]

Utilizamos la identidad \( \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} \):
\[ 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt = 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = 2i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos 2t) \, dt \]
\[ = 2i \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2i \left[ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right] = 2i \cdot \pi = 2i \cdot \pi = 2\pi i \]

3. \( \int_{-2}^{2} \frac{iy^2}{\sqrt{4 - y^2}} \, dy \):
Usamos la misma sustitución \( y = 2 \sin t \):
\[ \int_{-2}^{2} \frac{iy^2}{\sqrt{4 - y^2}} \, dy = i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{4 \sin^2 t}{2 \cos t} \cdot 2 \cos t \, dt \]
\[ = 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t \, dt \]

Utilizamos la identidad \( \sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2} \):
\[ 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t \, dt = 4i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = 2i \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - \cos 2t) \, dt \]
\[ = 2i \left[ t - \frac{\sin 2t}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2i \left[ \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) - \left( -\frac{\pi}{2} - 0 \right) \right] = 2i \cdot \pi = 2\pi i \]

Sumando todas las partes:
\[ 0 + 2\pi i + 2\pi i = 4\pi i \]

Por lo tanto, la integral \(\int_{c} \bar{z} \, dz\) es:
\[ 4\pi i \]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso específico o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay cinco preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se parametriza una curva en términos de una variable?
2. ¿Qué es el conjugado complejo y cómo se usa en integrales de contorno?
3. ¿Cómo se realiza una integral compleja en el plano complejo?
4. ¿Qué técnicas se pueden usar para simplificar integrales complicadas?
5. ¿Qué es una integral de contorno y cómo se aplica en física y matemáticas?

Tip: Cuando trabajes con integrales de contorno, asegúrate de conocer bien las propiedades del contorno y la función para aplicar los teoremas correctos de análisis complejo.

Learn how to resolve a complex integral involving distribution errors and apply contour integration techniques. This problem covers integrals, complex numbers, and contour integration, including theorems like Cauchy's integral theorem and formula. Suitable for advanced mathematics learners.

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