要计算一个正六边形框绕其中心的转动惯量，我们可以利用叠加法。这个方法涉及将正六边形分解成易于处理的部分，然后将这些部分的转动惯量加起来。

假设正六边形的边长为 $a$，质量为 $m$，且框的每条边均匀分布质量。首先，我们将正六边形的六条边视为独立的细棒，并计算每条细棒绕正六边形中心的转动惯量。

1. 单条细棒的质量： 由于正六边形框共有六条边，且质量均匀分布在每条边上，因此每条细棒的质量为： $m_{\text{棒}} = \frac{m}{6}$

2. 每条细棒的几何中心到正六边形中心的距离： 在正六边形中，每条边的几何中心（中点）到正六边形中心的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

3. 单条细棒绕其几何中心的转动惯量： 细棒绕其几何中心的转动惯量为： $I_{\text{棒，中心}} = \frac{1}{12}m_{\text{棒}} a^2 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{6} \cdot a^2 = \frac{m a^2}{72}$

4. 平行轴定理： 我们需要将每条细棒的转动惯量从其几何中心转移到正六边形中心。根据平行轴定理，每条细棒绕正六边形中心的转动惯量为： $I_{\text{棒，中心}} + m_{\text{棒}} d^2 = \frac{m a^2}{72} + \frac{m}{6} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2$ $I_{\text{棒，中心}} + \frac{m}{6} \left( \frac{3}{4}a^2 \right) = \frac{m a^2}{72} + \frac{m a^2}{8}$ $I_{\text{棒，中心}} + \frac{9m a^2}{72} = \frac{m a^2}{72} + \frac{9m a^2}{72} = \frac{10m a^2}{72} = \frac{5m a^2}{36}$

5. 正六边形的总转动惯量： 由于正六边形框共有六条边，因此其总的转动惯量为六条细棒的转动惯量之和： $I_{\text{总}} = 6 \cdot \frac{5m a^2}{36} = \frac{30m a^2}{36} = \frac{5m a^2}{6}$

因此，正六边形框绕其中心的转动惯量为 $\frac{5m a^2}{6}$。

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小贴士：分解复杂物体为简单几何形状，并利用平行轴定理，可以大大简化转动惯量的计算。