https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726731022956l7i5vie8.jpg

Tugas ini meminta kita untuk menentukan persamaan garis dengan gradien -2 yang menyinggung lingkaran yang diberikan. Kita akan menyelesaikan ini untuk kedua bagian (a) dan (b) satu per satu.

### Bagian (a)

Lingkaran diberikan oleh persamaan:
\[ x^2 + y^2 = 12 \]

Lingkaran ini memiliki pusat di \((0,0)\) dan jari-jari \( r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

Karena kita mencari garis yang menyinggung lingkaran dengan gradien \( m = -2 \), kita dapat menggunakan bentuk umum garis dengan gradien \( m \), yaitu:
\[ y = mx + c \]
dimana \( c \) adalah intersep y. Substitusikan \( y \) ke dalam persamaan lingkaran:
\[ x^2 + (mx + c)^2 = 12 \]

Substitusi dan ekspansi menghasilkan:
\[ x^2 + (m^2x^2 + 2mcx + c^2) = 12 \]
\[ (1 + m^2)x^2 + 2mcx + c^2 = 12 \]

Karena \( m = -2 \), substitusi dan penyelesaian untuk \( c \) dengan kondisi bahwa diskriminan (bagian dalam akar kuadrat dari formula kuadrat) adalah nol (karena garis hanya menyentuh lingkaran):
\[ (1 + (-2)^2)x^2 + 2(-2)cx + c^2 - 12 = 0 \]
\[ 5x^2 - 4cx + c^2 - 12 = 0 \]

Diskriminan:
\[ b^2 - 4ac = 0 \]
\[ (-4c)^2 - 4 \times 5 \times (c^2 - 12) = 0 \]
\[ 16c^2 - 20c^2 + 240 = 0 \]
\[ -4c^2 + 240 = 0 \]
\[ c^2 = 60 \]
\[ c = \pm \sqrt{60} = \pm 2\sqrt{15} \]

Jadi, persamaan garis-garis yang menyinggung adalah:
\[ y = -2x + 2\sqrt{15} \]
\[ y = -2x - 2\sqrt{15} \]

### Bagian (b)

Lingkaran diberikan oleh persamaan:
\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45 \]

Pusat lingkaran ini adalah \((-2, 3)\) dan jari-jarinya adalah \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

Proses yang sama dengan sebelumnya diterapkan untuk mendapatkan:
\[ y - 3 = -2(x + 2) + c \]
\[ y = -2x - 4 + c + 3 \]
\[ y = -2x + c - 1 \]

Lakukan substitusi dan penyelesaian serupa untuk \( c \) dengan diskriminan sama dengan nol. Kita akan mendapatkan:
\[ c = 3\sqrt{5} \pm 13 \]

Maka, persamaan garis-garis yang menyinggung adalah:
\[ y = -2x + (3\sqrt{5} + 13 - 1) \]
\[ y = -2x + 3\sqrt{5} + 12 \]
\[ y = -2x - 3\sqrt{5} + 12 \]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih mendetail tentang langkah-langkah yang diambil atau memiliki pertanyaan lainnya?

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan jari-jari lingkaran dari persamaannya?
2. Apa itu diskriminan dan bagaimana peranannya dalam menentukan jumlah titik potong garis dan kurva?
3. Bagaimana cara menemukan pusat lingkaran dari bentuk umum persamaan lingkaran?
4. Mengapa penting untuk menetapkan diskriminan menjadi nol dalam mencari garis singgung?
5. Bagaimana gradien mempengaruhi orientasi garis singgung terhadap lingkaran?

### Tip:
Dalam mengerjakan soal geometri yang melibatkan lingkaran dan garis, selalu periksa apakah persamaan telah disederhanakan dan pastikan bahwa semua variabel telah diperhitungkan sebelum menyelesaikan persamaan.

Tentukan persamaan garis yang bergradien -2 yang menyinggung lingkaran berikut:

a. x^2 + y^2 = 12
b. (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45

Solve the problem of finding the equation of a tangent line with a gradient of -2 to two given circles: x^2 + y^2 = 12 and (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45. Detailed steps include using the tangent line equation and solving with the discriminant formula.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation