encuentra la ecuacion de la recta de la  circunferencia es tangente a la ecta x+2y-10=0 en el punto-4,7 y su centro esta sobre la recta 2x-y+15=0

Para encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta \( x + 2y - 10 = 0 \) en el punto \((-4, 7)\) y cuyo centro está sobre la recta \( 2x - y + 15 = 0 \), sigamos los pasos detallados:

### 1. Ecuación de la circunferencia general:
La ecuación de la circunferencia se puede escribir como:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
donde \((h, k)\) es el centro de la circunferencia y \( r \) es su radio.

### 2. Determinación del centro \((h, k)\):
Dado que el centro de la circunferencia está sobre la recta \( 2x - y + 15 = 0 \), el punto \((h, k)\) debe satisfacer esta ecuación:
\[
2h - k + 15 = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
O, simplificando:
\[
k = 2h + 15 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

### 3. Condición de tangencia:
La circunferencia es tangente a la recta \( x + 2y - 10 = 0 \) en el punto \((-4, 7)\). Para que sea tangente, la distancia del centro \((h, k)\) a la recta debe ser igual al radio \( r \). La distancia de un punto \( (h, k) \) a una recta \( ax + by + c = 0 \) está dada por:
\[
\text{Distancia} = \frac{|ah + bk + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
Aplicando esto para la recta \( x + 2y - 10 = 0 \), tenemos:
\[
r = \frac{|h + 2k - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|h + 2k - 10|}{\sqrt{5}} \quad \text{(Ecuación 3)}
\]

### 4. Punto de tangencia:
El punto de tangencia \((-4, 7)\) debe cumplir la ecuación de la circunferencia, por lo que:
\[
(-4 - h)^2 + (7 - k)^2 = r^2 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]

### 5. Sustitución y resolución:
Sustituyendo \( k = 2h + 15 \) (de la Ecuación 2) en la Ecuación 4:

\[
(-4 - h)^2 + (7 - (2h + 15))^2 = r^2
\]
\[
(-4 - h)^2 + (-2h - 8)^2 = r^2
\]
\[
(h + 4)^2 + (2h + 8)^2 = r^2
\]
Desarrollamos los cuadrados:
\[
(h^2 + 8h + 16) + (4h^2 + 32h + 64) = r^2
\]
\[
5h^2 + 40h + 80 = r^2 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]

Ahora, usando la Ecuación 3:
\[
r^2 = \frac{(h + 2(2h + 15) - 10)^2}{5}
\]
\[
r^2 = \frac{(h + 4h + 30 - 10)^2}{5} = \frac{(5h + 20)^2}{5} = \frac{25(h + 4)^2}{5} = 5(h + 4)^2 \quad \text{(Ecuación 6)}
\]

### 6. Igualación y solución final:
Igualando las Ecuaciones 5 y 6:
\[
5h^2 + 40h + 80 = 5(h + 4)^2
\]
Dividiendo todo entre 5:
\[
h^2 + 8h + 16 = (h + 4)^2
\]
Expandiendo:
\[
h^2 + 8h + 16 = h^2 + 8h + 16
\]
Esto muestra que la solución es consistente para cualquier \( h \).

Finalmente, cualquier punto \( h \) sobre la recta \( 2x - y + 15 = 0 \) con \( k = 2h + 15 \) servirá como el centro de la circunferencia.

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
\[
(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = (h + 4)^2
\]
Donde \( h \) satisface \( 2h - k + 15 = 0 \).

¿Te gustaría explorar más sobre este tema o necesitas aclaraciones? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta?
2. ¿Qué significa que una circunferencia sea tangente a una recta?
3. ¿Cómo se determina el radio de una circunferencia?
4. ¿Qué representa el centro de una circunferencia en su ecuación?
5. ¿Cómo se desarrolla un binomio al cuadrado?
6. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un punto pertenezca a una circunferencia?
7. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
8. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en un plano?

**Tip**: La distancia de un punto a una recta se calcula utilizando la fórmula \(\text{Distancia} = \frac{|ah + bk + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\), que es esencial en problemas de tangencia.


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