https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726731397451urje7yx5.jpg

Mari kita bahas soal ini.

### Diketahui:
1. Garis yang diminta memiliki gradien \( m = -2 \).
2. Garis tersebut menyinggung lingkaran.

#### Lingkaran (a):
\[
x^2 + y^2 = 12
\]
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di \( (0, 0) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

#### Lingkaran (b):
\[
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 45
\]
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di \( (-2, 3) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

### Konsep:
Persamaan garis lurus dengan gradien \( m = -2 \) dapat dituliskan dalam bentuk umum:
\[
y = -2x + c
\]
Untuk mencari persamaan garis yang menyinggung lingkaran, kita harus menggunakan konsep jarak antara titik pusat lingkaran dan garis. Jarak ini harus sama dengan jari-jari lingkaran.

#### Langkah Penyelesaian:
1. **Cari persamaan garis yang menyinggung lingkaran (a):**
   
   Pusat lingkaran adalah \( (0, 0) \) dan jari-jarinya \( r = 2\sqrt{3} \). Persamaan garis yang menyinggung lingkaran adalah \( y = -2x + c \). Jarak antara pusat lingkaran \( (0, 0) \) ke garis \( y = -2x + c \) adalah:
   \[
   d = \frac{|c|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{5}}
   \]
   Karena garis menyinggung lingkaran, maka jarak ini sama dengan jari-jari lingkaran:
   \[
   \frac{|c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{3}
   \]
   \[
   |c| = 2\sqrt{3} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{15}
   \]
   Sehingga, \( c = 2\sqrt{15} \) atau \( c = -2\sqrt{15} \).

   Jadi, persamaan garisnya adalah:
   \[
   y = -2x + 2\sqrt{15}
   \]
   atau
   \[
   y = -2x - 2\sqrt{15}
   \]

2. **Cari persamaan garis yang menyinggung lingkaran (b):**

   Pusat lingkaran adalah \( (-2, 3) \) dan jari-jarinya \( r = 3\sqrt{5} \). Sama seperti langkah di atas, kita gunakan persamaan garis \( y = -2x + c \). Jarak antara titik \( (-2, 3) \) ke garis tersebut adalah:
   \[
   d = \frac{|(-2)(-2) + 3 - c|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 + 3 - c|}{\sqrt{5}} = \frac{|7 - c|}{\sqrt{5}}
   \]
   Karena jarak ini harus sama dengan jari-jari lingkaran, kita dapat menulis:
   \[
   \frac{|7 - c|}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}
   \]
   \[
   |7 - c| = 3\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 15
   \]
   Sehingga ada dua kemungkinan:
   \[
   7 - c = 15 \quad \text{atau} \quad 7 - c = -15
   \]
   Untuk kasus pertama, \( 7 - c = 15 \), kita dapatkan \( c = -8 \).

   Untuk kasus kedua, \( 7 - c = -15 \), kita dapatkan \( c = 22 \).

   Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran (b) adalah:
   \[
   y = -2x - 8
   \]
   atau
   \[
   y = -2x + 22
   \]

### Kesimpulan:
- Untuk lingkaran (a): \( y = -2x + 2\sqrt{15} \) atau \( y = -2x - 2\sqrt{15} \).
- Untuk lingkaran (b): \( y = -2x - 8 \) atau \( y = -2x + 22 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

**5 Soal Terkait:**
1. Bagaimana cara menentukan jarak antara titik ke garis?
2. Bagaimana cara menghitung gradien dari sebuah garis?
3. Bagaimana cara menuliskan persamaan garis yang sejajar dengan garis lain?
4. Apa yang dimaksud dengan lingkaran dalam geometri analitik?
5. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan lingkaran dalam bentuk umum?

**Tip:** Untuk persamaan garis yang menyinggung lingkaran, pastikan selalu menggunakan konsep jarak titik ke garis untuk menentukan nilai konstanta dalam persamaan garis tersebut.

Tentukan persamaan garis yang bergradien -2 yang menyinggung lingkaran berikut.
a. x² + y² = 12
b. (x + 2)² + (y - 3)² = 45

This problem demonstrates how to find the equation of a tangent line with gradient -2 to two circles: x² + y² = 12 and (x + 2)² + (y - 3)² = 45. Learn the methods of using distance from a point to a line and the tangent line theorem, key concepts in analytic geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation