fait un tableau de variations pas a pas de f(x)=3-(x+2)^2

Pour faire un tableau de variations de la fonction \( f(x) = 3 - (x + 2)^2 \), nous devons suivre plusieurs étapes. Voici les étapes détaillées :

### Étape 1 : Déterminer la forme de la fonction
La fonction \( f(x) = 3 - (x + 2)^2 \) est une parabole inversée (car le terme en \( x^2 \) est négatif).

### Étape 2 : Trouver le sommet de la parabole
Le sommet de la parabole pour une fonction de la forme \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) se trouve au point \((h, k)\).

Ici, la fonction peut être réécrite comme \( f(x) = -1(x + 2)^2 + 3 \), ce qui signifie que le sommet est au point \((-2, 3)\).

### Étape 3 : Déterminer les variations
Pour une parabole inversée, la fonction décroît avant le sommet et croît après le sommet.

### Étape 4 : Déterminer les variations sur un intervalle
1. **Avant le sommet** : \( f(x) \) est décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty, -2] \).
2. **Après le sommet** : \( f(x) \) est décroissante sur l'intervalle \( [-2, +\infty[ \).

### Étape 5 : Créer le tableau de variations
Nous mettons toutes ces informations ensemble pour créer le tableau de variations.

#### Tableau de variations

| \( x \)      | \(-\infty\)  |        | \(-2\)        |        | \(+\infty\)   |
|--------------|--------------|--------|---------------|--------|---------------|
| \( f'(x) \)  |              | \(-\)  | \( 0 \)       | \(-\)  |               |
| \( f(x) \)   | \(\rightarrow -\infty\)|         | \( 3 \)         |        | \(\rightarrow -\infty\) |

**Légende :**
- \( f'(x) \) représente le signe de la dérivée, indiquant les variations de \( f(x) \).
- \( f(x) \) représente les valeurs de la fonction.

### Détails supplémentaires
- \( f(x) \) atteint son maximum en \((-2, 3)\) et décroît de part et d'autre de ce point.
- Les valeurs de \( f(x) \) tendent vers \(-\infty\) quand \( x \) tend vers \(-\infty\) et \( +\infty \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions sur cette démarche ?

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### Questions relatives :
1. Quelles sont les propriétés générales d'une parabole inversée ?
2. Comment déterminer le sommet d'une parabole dans une fonction quadratique ?
3. Pourquoi le terme \( a \) dans une parabole quadratique affecte-t-il la direction de son ouverture ?
4. Comment trouver la dérivée première d'une fonction quadratique ?
5. Quels sont les rôles des termes \( h \) et \( k \) dans la forme canonique d'une fonction quadratique ?
6. Comment interpréter le signe de la dérivée pour déterminer les variations d'une fonction ?
7. Quelle est l'importance du sommet dans l'étude des variations d'une fonction quadratique ?
8. Comment déterminer les intervalles de croissance et décroissance pour une fonction quadratique ?

### Astuce
Pour déterminer rapidement le sommet d'une fonction quadratique de la forme \( ax^2 + bx + c \), utilisez la formule \( x = -\frac{b}{2a} \) pour trouver la coordonnée \( x \) du sommet.

Explore step-by-step how to create a variation table for the function f(x) = 3 - (x + 2)^2. Learn about quadratic functions, vertex form, and how to determine variations in different intervals. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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