Um lote de 33 itens fabricados contém 17 itens defeituosos. Suponha que 10 itens são selecionados aleatoriamente do lote. Qual é a probabilidade de que 4 desses itens estão com defeito?

Para calcular a probabilidade de que exatamente 4 dos 10 itens selecionados aleatoriamente de um lote de 33 itens, onde 17 são defeituosos, estão com defeito, podemos usar a fórmula da **distribuição hipergeométrica**. Esta fórmula é útil para calcular probabilidades em amostras sem reposição.

A distribuição hipergeométrica é dada por:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}
\]

onde:
- \(N\) é o número total de itens (33 no nosso caso),
- \(D\) é o número de itens defeituosos (17 no nosso caso),
- \(n\) é o número de itens selecionados (10 no nosso caso),
- \(k\) é o número de itens defeituosos que desejamos na amostra (4 no nosso caso).

1. **Calculando os coeficientes binomiais:**

\[
\binom{D}{k} = \binom{17}{4}
\]
\[
\binom{N-D}{n-k} = \binom{16}{6}
\]
\[
\binom{N}{n} = \binom{33}{10}
\]

2. **Calculando cada coeficiente binomial:**

\[
\binom{17}{4} = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17!}{4! \cdot 13!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2380
\]

\[
\binom{16}{6} = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16!}{6! \cdot 10!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008
\]

\[
\binom{33}{10} = \frac{33!}{10!(33-10)!} = \frac{33!}{10! \cdot 23!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 92561040
\]

3. **Calculando a probabilidade:**

\[
P(X = 4) = \frac{\binom{17}{4} \cdot \binom{16}{6}}{\binom{33}{10}} = \frac{2380 \cdot 8008}{92561040}
\]

\[
P(X = 4) = \frac{19009440}{92561040} \approx 0.2053
\]

Portanto, a probabilidade de que exatamente 4 dos 10 itens selecionados estejam com defeito é aproximadamente \(0.2053\) ou \(20.53\%\).

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre esse cálculo? Aqui estão algumas perguntas adicionais que você pode querer explorar:

1. Qual é a probabilidade de que nenhum dos itens selecionados esteja com defeito?
2. Qual é a probabilidade de que exatamente 5 itens estejam com defeito?
3. Como essa probabilidade muda se o número total de itens aumentar para 40 com 20 defeituosos?
4. Como calcular a probabilidade de que pelo menos 4 itens estejam com defeito?
5. Qual é a expectativa do número de itens defeituosos em uma amostra de 10 itens?

**Dica:** A distribuição hipergeométrica é especialmente útil em problemas de seleção sem reposição, como no caso de controle de qualidade.

Learn how to calculate the probability that exactly 4 out of 10 randomly selected items from a batch of 33, containing 17 defective items, are defective using hypergeometric distribution formula. This problem involves combinatorial mathematics and probability theory.

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