Chúng ta cần tìm hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình sau với mọi $x, y \in \mathbb{R}$:

$(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2)$

Bước 1: Đặt các biến mới

Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi các biến. Đặt:

$u = x + y \quad \text{và} \quad v = x - y$

Khi đó, phương trình trở thành:

$v f(u) - u f(v) = 4xy(x^2 + y^2)$

Bước 2: Biểu diễn $xy$ và $x^2 + y^2$ qua $u$ và $v$

Chúng ta biểu diễn $x$ và $y$ theo $u$ và $v$:

$x = \frac{u + v}{2} \quad \text{và} \quad y = \frac{u - v}{2}$

Do đó, $xy$ và $x^2 + y^2$ sẽ là:

$xy = \frac{(u + v)(u - v)}{4} = \frac{u^2 - v^2}{4}$

$x^2 + y^2 = \frac{(u+v)^2 + (u-v)^2}{4} = \frac{u^2 + v^2}{2}$

Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu

Thay $xy$ và $x^2 + y^2$ vào phương trình đã biến đổi:

$v f(u) - u f(v) = 4 \cdot \frac{u^2 - v^2}{4} \cdot \frac{u^2 + v^2}{2}$

Phương trình này đơn giản hóa thành:

$v f(u) - u f(v) = \frac{(u^2 - v^2)(u^2 + v^2)}{2}$

Bước 4: Kiểm tra hàm ứng viên

Giả sử $f(x) = cx^3$, ta có:

$v f(u) = v \cdot c u^3 = c u^3 v$ $u f(v) = u \cdot c v^3 = c u v^3$

Khi đó:

$v f(u) - u f(v) = c u^3 v - c u v^3 = c(u^3 v - u v^3) = c uv(u^2 - v^2)$

Do đó, phương trình trở thành:

$c uv(u^2 - v^2) = \frac{(u^2 - v^2)(u^2 + v^2)}{2}$

Để hai vế bằng nhau, ta có:

$c uv = \frac{u^2 + v^2}{2}$

Để đúng cho mọi $u, v$, ta chọn $c = \frac{1}{2}$, nghĩa là:

$f(x) = \frac{1}{2}x^3$

Kết luận

Hàm $f(x) = \frac{1}{2}x^3$ là nghiệm của phương trình.

Bạn có muốn tìm hiểu chi tiết hơn về giải pháp này không? Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để xác nhận hàm $f(x) = \frac{1}{2}x^3$ là duy nhất?
2. Có phương pháp nào khác để tìm hàm $f(x)$ thỏa mãn phương trình?
3. Hàm này có các ứng dụng nào trong toán học hoặc vật lý không?
4. Phương pháp biến đổi biến có thể áp dụng cho các phương trình khác không?
5. Có cách nào để kiểm tra nghiệm của phương trình không?

Tip: Khi giải phương trình hàm, việc đặt biến mới có thể giúp đơn giản hóa bài toán và dễ dàng tìm được hàm ứng viên.