Tìm hàm f : R→R thoả mãn
(x −y)f(x+y)−(x+y)f(x−y) = 4xy(x2 +y2)∀x,y ∈ R.

Để tìm hàm số \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình:

\[
(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R},
\]

ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đặt biến số
Đặt \( x = y = 0 \) vào phương trình, ta có:

\[
(0 - 0)f(0 + 0) - (0 + 0)f(0 - 0) = 4 \cdot 0 \cdot 0 \cdot (0^2 + 0^2) \Rightarrow 0 = 0,
\]

phương trình này đúng, nhưng không cung cấp thông tin hữu ích. Vì vậy, ta tiếp tục với các giá trị khác.

### Bước 2: Đặt \( y = 0 \)
Khi \( y = 0 \), phương trình trở thành:

\[
x f(x) - x f(x) = 0 \Rightarrow 0 = 0,
\]

điều này cũng không cung cấp thêm thông tin nào về hàm \( f(x) \).

### Bước 3: Đặt các giá trị khác nhau của \( y \)
Ta thử đặt \( y = 1 \) và thay vào phương trình:

\[
(x - 1)f(x + 1) - (x + 1)f(x - 1) = 4x(x^2 + 1).
\]

Bây giờ, để kiểm tra một hàm \( f(x) \) cụ thể, ta giả sử \( f(x) = ax^3 + bx \) và thử thay vào phương trình để xem có thỏa mãn hay không.

### Bước 4: Giả sử \( f(x) = ax^3 + bx \)
Thay \( f(x) = ax^3 + bx \) vào phương trình, ta có:

\[
(x - y)\left[a(x+y)^3 + b(x+y)\right] - (x+y)\left[a(x-y)^3 + b(x-y)\right] = 4xy(x^2 + y^2).
\]

### Bước 5: Khai triển và đồng nhất các hệ số
Khai triển và đơn giản hóa hai vế, rồi đồng nhất các hệ số của \( x \) và \( y \), ta tìm được giá trị của \( a \) và \( b \).

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ thấy rằng hàm \( f(x) = x^3 \) thỏa mãn phương trình. 

### Kết luận:
Hàm \( f(x) = x^3 \) là một nghiệm của phương trình đã cho.

**Bạn có muốn chi tiết thêm về cách giải từng bước không?** 

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để khai triển biểu thức \( (x+y)^3 \)?
2. Phương pháp đồng nhất hệ số được thực hiện như thế nào?
3. Có thể có những nghiệm khác của phương trình không?
4. Hàm \( f(x) = x^3 \) có đặc điểm gì quan trọng trong bài toán này?
5. Làm thế nào để kiểm tra tính đúng đắn của một nghiệm cho phương trình hàm?

**Mẹo:** Khi giải phương trình hàm, hãy thử đặt các giá trị đơn giản cho các biến để khám phá tính chất của hàm.

Learn how to solve the functional equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2) step-by-step. Explore the solution involving polynomial functions and algebraic manipulations suitable for university-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation