Để tìm hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình:

$(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R},$

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt biến số

Đặt $x = y = 0$ vào phương trình, ta có:

$(0 - 0)f(0 + 0) - (0 + 0)f(0 - 0) = 4 \cdot 0 \cdot 0 \cdot (0^2 + 0^2) \Rightarrow 0 = 0,$

phương trình này đúng, nhưng không cung cấp thông tin hữu ích. Vì vậy, ta tiếp tục với các giá trị khác.

Bước 2: Đặt $y = 0$

Khi $y = 0$, phương trình trở thành:

$x f(x) - x f(x) = 0 \Rightarrow 0 = 0,$

điều này cũng không cung cấp thêm thông tin nào về hàm $f(x)$.

Bước 3: Đặt các giá trị khác nhau của $y$

Ta thử đặt $y = 1$ và thay vào phương trình:

$(x - 1)f(x + 1) - (x + 1)f(x - 1) = 4x(x^2 + 1).$

Bây giờ, để kiểm tra một hàm $f(x)$ cụ thể, ta giả sử $f(x) = ax^3 + bx$ và thử thay vào phương trình để xem có thỏa mãn hay không.

Bước 4: Giả sử $f(x) = ax^3 + bx$

Thay $f(x) = ax^3 + bx$ vào phương trình, ta có:

[ (x - y)\left[a(x+y)^3 + b(x+y)\right] - (x+y)\left[a(x-y)^3 + b(x-y)\right] = 4xy(x^2 + y^2). ]

Bước 5: Khai triển và đồng nhất các hệ số

Khai triển và đơn giản hóa hai vế, rồi đồng nhất các hệ số của $x$ và $y$, ta tìm được giá trị của $a$ và $b$.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ thấy rằng hàm $f(x) = x^3$ thỏa mãn phương trình.

Kết luận:

Hàm $f(x) = x^3$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Bạn có muốn chi tiết thêm về cách giải từng bước không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để khai triển biểu thức $(x+y)^3$?
2. Phương pháp đồng nhất hệ số được thực hiện như thế nào?
3. Có thể có những nghiệm khác của phương trình không?
4. Hàm $f(x) = x^3$ có đặc điểm gì quan trọng trong bài toán này?
5. Làm thế nào để kiểm tra tính đúng đắn của một nghiệm cho phương trình hàm?

Mẹo: Khi giải phương trình hàm, hãy thử đặt các giá trị đơn giản cho các biến để khám phá tính chất của hàm.