Math Problem Statement

Tìm hàm f : R → R thoả mãn (x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x 2 - y 2 )∀x, y ∈ R.

Solution

Ta cần tìm hàm số f:RRf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} thỏa mãn phương trình sau:

(xy)f(x+y)(x+y)f(xy)=4xy(x2y2)x,yR.(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.

Bước 1: Đặt biến mới

Để giải phương trình hàm, chúng ta đặt:

u=x+yvaˋv=xy.u = x + y \quad \text{và} \quad v = x - y.

Khi đó, phương trình trở thành:

vf(u)uf(v)=4xy(x2y2).vf(u) - uf(v) = 4xy(x^2 - y^2).

Ta có thể biểu diễn xxyy theo uuvv:

x=u+v2,y=uv2.x = \frac{u + v}{2}, \quad y = \frac{u - v}{2}.

Thay xxyy vào biểu thức 4xy(x2y2)4xy(x^2 - y^2), ta có:

4xy(x2y2)=4u+v2uv2((u+v2)2(uv2)2).4xy(x^2 - y^2) = 4 \cdot \frac{u + v}{2} \cdot \frac{u - v}{2} \cdot \left(\left(\frac{u + v}{2}\right)^2 - \left(\frac{u - v}{2}\right)^2\right).

Đơn giản hóa biểu thức này:

4xy(x2y2)=(u2v2)((u+v)2(uv)24).4xy(x^2 - y^2) = (u^2 - v^2)\left(\frac{(u+v)^2 - (u-v)^2}{4}\right).

Dễ thấy rằng:

(u2v2)((u+v)2(uv)24)=(u2v2)(uv).(u^2 - v^2)\left(\frac{(u+v)^2 - (u-v)^2}{4}\right) = (u^2 - v^2)(uv).

Bước 2: Giả sử f(x)=ax3f(x) = ax^3

Ta giả sử f(x)=ax3f(x) = ax^3 (vì vế phải của phương trình có dạng bậc 3 của uuvv). Thay vào phương trình ban đầu:

vf(u)uf(v)=av4uau4v=a(uv)(u3v3).vf(u) - uf(v) = av^4u - au^4v = a(u - v)(u^3v^3).

So sánh với vế phải của phương trình ban đầu:

av4uau4v=4uv(u2v2).av^4u - au^4v = 4uv(u^2 - v^2).

So sánh các hệ số, ta có a=4a = 4. Vậy hàm số cần tìm là:

f(x)=4x3.f(x) = 4x^3.

Kết luận:

Hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán là:

f(x)=4x3.f(x) = 4x^3.


Bạn có muốn tìm hiểu chi tiết hơn về các bước giải này không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

  1. Tại sao lại chọn giả sử hàm số f(x)f(x) có dạng ax3ax^3?
  2. Làm thế nào để biểu diễn xxyy theo uuvv?
  3. Các bước biến đổi từ phương trình hàm sang dạng đa thức là gì?
  4. Có cách nào khác để giải phương trình hàm này không?
  5. Ứng dụng thực tế của phương trình hàm này là gì?

Tip: Khi giải phương trình hàm, một trong những kỹ thuật quan trọng là thay đổi biến và giả sử các dạng hàm phù hợp để dễ dàng so sánh và tìm ra đáp án.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Functional Equations
Polynomial Functions
Variable Transformation

Formulas

Functional equation transformation
Polynomial manipulation

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced Mathematics