Tìm hàm f : R → R thoả mãn
(x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x
2 - y
2
)∀x, y ∈ R.

Ta cần tìm hàm số \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình sau:

\[
(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.
\]

### Bước 1: Đặt biến mới
Để giải phương trình hàm, chúng ta đặt:

\[
u = x + y \quad \text{và} \quad v = x - y.
\]

Khi đó, phương trình trở thành:

\[
vf(u) - uf(v) = 4xy(x^2 - y^2).
\]

Ta có thể biểu diễn \( x \) và \( y \) theo \( u \) và \( v \):

\[
x = \frac{u + v}{2}, \quad y = \frac{u - v}{2}.
\]

Thay \( x \) và \( y \) vào biểu thức \( 4xy(x^2 - y^2) \), ta có:

\[
4xy(x^2 - y^2) = 4 \cdot \frac{u + v}{2} \cdot \frac{u - v}{2} \cdot \left(\left(\frac{u + v}{2}\right)^2 - \left(\frac{u - v}{2}\right)^2\right).
\]

Đơn giản hóa biểu thức này:

\[
4xy(x^2 - y^2) = (u^2 - v^2)\left(\frac{(u+v)^2 - (u-v)^2}{4}\right).
\]

Dễ thấy rằng:

\[
(u^2 - v^2)\left(\frac{(u+v)^2 - (u-v)^2}{4}\right) = (u^2 - v^2)(uv).
\]

### Bước 2: Giả sử \( f(x) = ax^3 \)
Ta giả sử \( f(x) = ax^3 \) (vì vế phải của phương trình có dạng bậc 3 của \( u \) và \( v \)). Thay vào phương trình ban đầu:

\[
vf(u) - uf(v) = av^4u - au^4v = a(u - v)(u^3v^3).
\]

So sánh với vế phải của phương trình ban đầu:

\[
av^4u - au^4v = 4uv(u^2 - v^2).
\]

So sánh các hệ số, ta có \( a = 4 \). Vậy hàm số cần tìm là:

\[
f(x) = 4x^3.
\]

### Kết luận:
Hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán là:

\[
f(x) = 4x^3.
\]

---

Bạn có muốn tìm hiểu chi tiết hơn về các bước giải này không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Tại sao lại chọn giả sử hàm số \( f(x) \) có dạng \( ax^3 \)?
2. Làm thế nào để biểu diễn \( x \) và \( y \) theo \( u \) và \( v \)?
3. Các bước biến đổi từ phương trình hàm sang dạng đa thức là gì?
4. Có cách nào khác để giải phương trình hàm này không?
5. Ứng dụng thực tế của phương trình hàm này là gì?

**Tip:** Khi giải phương trình hàm, một trong những kỹ thuật quan trọng là thay đổi biến và giả sử các dạng hàm phù hợp để dễ dàng so sánh và tìm ra đáp án.

Explore the solution to the functional equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) using variable transformations and polynomial manipulation. This problem involves advanced concepts in functional equations and polynomial functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation