Math Problem Statement
Tìm hàm f : R → R thoả mãn (x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x 2 - y 2 )∀x, y ∈ R.
Solution
Ta cần tìm hàm số thỏa mãn phương trình sau:
Bước 1: Đặt biến mới
Để giải phương trình hàm, chúng ta đặt:
Khi đó, phương trình trở thành:
Ta có thể biểu diễn và theo và :
Thay và vào biểu thức , ta có:
Đơn giản hóa biểu thức này:
Dễ thấy rằng:
Bước 2: Giả sử
Ta giả sử (vì vế phải của phương trình có dạng bậc 3 của và ). Thay vào phương trình ban đầu:
So sánh với vế phải của phương trình ban đầu:
So sánh các hệ số, ta có . Vậy hàm số cần tìm là:
Kết luận:
Hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán là:
Bạn có muốn tìm hiểu chi tiết hơn về các bước giải này không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:
- Tại sao lại chọn giả sử hàm số có dạng ?
- Làm thế nào để biểu diễn và theo và ?
- Các bước biến đổi từ phương trình hàm sang dạng đa thức là gì?
- Có cách nào khác để giải phương trình hàm này không?
- Ứng dụng thực tế của phương trình hàm này là gì?
Tip: Khi giải phương trình hàm, một trong những kỹ thuật quan trọng là thay đổi biến và giả sử các dạng hàm phù hợp để dễ dàng so sánh và tìm ra đáp án.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Functional Equations
Polynomial Functions
Variable Transformation
Formulas
Functional equation transformation
Polynomial manipulation
Theorems
-
Suitable Grade Level
Advanced Mathematics
Related Recommendation
Solving Functional Equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2)
Solving Functional Equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)
Solving Functional Equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 + y^2)
Solving Functional Equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)
Solving Functional Equation xf(y) - yf(x) = xy(x^2 - y^2)