Chúng ta cần tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình:

$x f(y) - y f(x) = xy(x^2 - y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Bước 1: Đặt các giá trị đặc biệt cho $x$ và $y$

1. Khi $x = 0$: $0 \cdot f(y) - y \cdot f(0) = 0.$ Do đó, không có điều kiện gì đặc biệt cho $f(y)$ khi $x = 0$.

2. Khi $y = 0$: $x f(0) - 0 \cdot f(x) = 0.$ Điều này cũng không cung cấp thông tin mới về $f(x)$.

Bước 2: Đơn giản hóa và kiểm tra dạng của $f(x)$

Giả sử $f(x)$ có dạng đa thức, ta đặt $f(x) = ax^3 + bx$ (dạng này phù hợp với phương trình bên phải, vì nó liên quan đến $x^3$).

Thay vào phương trình ban đầu:

$x (ay^3 + by) - y (ax^3 + bx) = xy(x^2 - y^2).$

Triển khai:

$a(xy^3 - yx^3) + b(xy - yx) = xy(x^3 - y^3).$

Ta có thể nhận thấy:

$a(xy^3 - yx^3) = axy(y^2 - x^2)(x + y),$

Và bên phải:

$xy(x^3 - y^3) = xy(x - y)(x^2 + xy + y^2).$

So sánh hai vế, ta cần có:

$a = 1, \quad b = 0.$

Do đó:

$f(x) = x^3.$

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả

Kiểm tra lại xem hàm $f(x) = x^3$ có thỏa mãn phương trình ban đầu không:

$x f(y) - y f(x) = x y^3 - y x^3 = xy(y^2 - x^2).$

Vế trái và vế phải của phương trình hoàn toàn bằng nhau.

Kết luận:

Hàm số thỏa mãn phương trình là:

$\boxed{f(x) = x^3 \text{ cho mọi } x \in \mathbb{R}.}$

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào không?

5 Câu hỏi liên quan:

1. Có cách tiếp cận nào khác để giải phương trình hàm này không?
2. Nếu thay đổi hệ số của $x^3$ trong hàm $f(x)$, điều gì sẽ xảy ra?
3. Phương pháp nào có thể áp dụng để giải các phương trình hàm tương tự nhưng phức tạp hơn?
4. Có hàm nào khác ngoài $f(x) = x^3$ thỏa mãn điều kiện đã cho không?
5. Nếu phương trình hàm thay đổi một chút, cách tìm hàm $f(x)$ sẽ như thế nào?

Mẹo: Khi giải phương trình hàm, việc thử dạng đa thức hoặc các dạng hàm khác như hàm số mũ, logarit, hay lượng giác có thể giúp tìm ra hàm $f(x)$ một cách nhanh chóng.